题目
求函数 =x(y)^2+(z)^3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向角为-|||-alpha =dfrac (pi )(3), beta =dfrac (pi )(4), =dfrac (pi )(3) 的方向的方向导数.
题目解答
答案
解析
本题考查方向导数的计算，解题思路如下：
- 首先，根据方向导数的定义，要求函数$u = f(x,y,z)$在某点沿某方向的方向导数，需要先求出函数在该点对各个自变量的偏导数。
- 然后，根据方向角求出该方向的单位向量。
- 最后，利用方向导数的计算公式$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$（其中$\alpha,\beta,\gamma$为方向角）计算方向导数。
下面进行详细的解答：
- 求函数$u = xy^{2}+z^{3}-xyz$对$x,y,z$的偏导数：
- 对$x$求偏导数，将$y$和$z$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$和$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$可得：
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}+z^{3}-xyz)=y^{2}-yz$ - 对$y$求偏导数，将$x$和$z$看作常数，可得：
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+z^{3}-xyz)=2xy - xz$ - 对$z$求偏导数，将$x$和$y$看作常数，可得：
$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(xy^{2}+z^{3}-xyz)=3z^{2}-xy$
- 对$x$求偏导数，将$y$和$z$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$和$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$可得：
- 求函数在点$(1,1,2)$处的偏导数：
- 将$x = 1,y = 1,z = 2$代入$\frac{\partial u}{\partial x}$可得：
$\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{(1,1,2)}=1^{2}-1\times2=-1$ - 将$x = 1,y = 1,z = 2$代入$\frac{\partial u}{\partial y}$可得：
$\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{(1,1,2)}=2\times1\times1 - 1\times2=0$ - 将$x = 1,y = 1,z = 2$代入$\frac{\partial u}{\partial z}$可得：
$\frac{\partial u}{\partial z}\big|_{(1,1,2)}=3\times2^{2}-1\times1=12 - 1 = 11$
- 将$x = 1,y = 1,z = 2$代入$\frac{\partial u}{\partial x}$可得：
- 求方向的单位向量$\vec{e}$：
已知方向角$\alpha=\frac{\pi}{3},\beta=\frac{\pi}{4},\gamma=\frac{\pi}{3}$，根据单位向量的坐标表示$\vec{e}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$可得：
$\vec{e}=(\cos\frac{\pi}{3},\cos\frac{\pi}{4},\cos\frac{\pi}{3})=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$ - 计算方向导数：
根据方向导数的计算公式$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$，将$\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{(1,1,2)}=-1,\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{(1,1,2)}=0,\frac{\partial u}{\partial z}\big|_{(1,1,2)}=11$和$\cos\alpha=\frac{1}{2},\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos\gamma=\frac{1}{2}$代入可得：
$\frac{\partial u}{\partial l}\big|_{(1,1,2)}=-1\times\frac{1}{2}+0\times\frac{\sqrt{2}}{2}+11\times\frac{1}{2}=\frac{-1 + 11}{2}=5$