18、判断 设f(x)在(-1,0)和(0,1)内有定义，若f(x)在(-1,0)和(0,1)内均可积，则f(x)在(-1,1)内可积.A. √B. ×

本题考查函数可积性的知识。解题思路是要明确函数在一个区间上可积的定义，以及区间可加性的条件，通过举反例来判断该命题的真假。

函数在区间$[a,b]$上可积的定义是：设$f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的有界函数，在$[a,b]$中任意插入若干个分点$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = b$，把区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i - 1},x_i]$，其长度为$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$，在每个小区间$[x_{i - 1},x_i]$上任取一点$\xi_i$，作和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$，记$\lambda = \max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$，如果当$\lambda \to 0$时，和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$的极限存在，且与区间$[a,b]$的分法及$\xi_i$的取法无关，则称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积。

对于本题，虽然$f(x)$在$(-1,0)$和$(0,1)$内均可积，但函数在$x = 0$处可能无定义或者不满足可积的条件，不能直接得出$f(x)$在$(-1,1)$内可积。

下面举一个反例：
设$f(x)=\begin{cases}1, & x\in(0,1)\\ -1, & x\in(-1,0)\end{cases}$

• 在$(-1,0)$上的可积性：
  对于区间$(-1,0)$，任取分点$-1 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = 0$，$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$，$\xi_i\in[x_{i - 1},x_i]$，则和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\sum_{i = 1}^{n}(-1)\Delta x_i=-(x_n - x_0)= - (0 - (-1)) = - 1$。
  当$\lambda = \max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}\to 0$时，和式极限为$-1$，所以$f(x)$在$(-1,0)$上可积。
• 在$(0,1)$上的可积性：
  对于区间$(0,1)$，任取分点$0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = 1$，$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$，$\xi_i\in[x_{i - 1},x_i]$，则和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\sum_{i = 1}^{n}1\cdot\Delta x_i=x_n - x_0 = 1 - 0 = 1$。
  当$\lambda = \max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}\to 0$时，和式极限为$1$，所以$f(x)$在$(0,1)$上可积。
• 在$(-1,1)$上的可积性：
  考虑区间$(-1,1)$的任意分点$-1 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = 1$，由于$x = 0$是函数的间断点，当分点包含$x = 0$时，和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$的值会随着$\xi_i$的取法不同而不同。
  若$\xi_i$都取在$(-1,0)$内，和式极限为$-1$；若$\xi_i$都取在$(0,1)$内，和式极限为$1$，不满足可积定义中极限与分法及$\xi_i$取法无关的条件，所以$f(x)$在$(-1,1)$上不可积。

综上，“设$f(x)$在$(-1,0)$和$(0,1)$内有定义，若$f(x)$在$(-1,0)$和$(0,1)$内均可积，则$f(x)$在$(-1,1)$内可积”这个命题是错误的。