下列命题错误的有（）个。（1）若A2=0，则A=0；（2）若A2=A，则A=0或A=E；（3）若AX=AY，且A≠0，则X=Y。A. 0B. 1C. 2D. 3

考查要点：本题主要考查矩阵运算的基本性质，特别是矩阵乘法的特殊性质，以及矩阵方程的解的情况。需要学生理解以下关键点：

1. 矩阵平方为零矩阵的条件并不等价于矩阵本身为零矩阵；
2. 矩阵平方等于自身的解不局限于零矩阵和单位矩阵；
3. 矩阵方程的可逆性对解的影响。

解题核心思路：通过构造反例逐一验证每个命题的正确性，从而判断错误的命题个数。

破题关键点：

• 命题（1）：寻找非零但平方为零的矩阵；
• 命题（2）：寻找非零且不等于单位矩阵但平方等于自身的矩阵；
• 命题（3）：利用不可逆矩阵构造反例，说明即使$A \neq 0$，方程$AX=AY$也不一定推出$X=Y$。

命题（1）分析

若$A^2=0$，则$A=0$
反例：构造矩阵$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，计算得：
$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$
此时$A \neq 0$但$A^2=0$，故命题（1）错误。

命题（2）分析

若$A^2=A$，则$A=0$或$A=E$
反例：构造矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，计算得：
$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A.$
此时$A$既不是零矩阵也不是单位矩阵，故命题（2）错误。

命题（3）分析

若$AX=AY$且$A \neq 0$，则$X=Y$
反例：设$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$（非零矩阵），取$X = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，$Y = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，则：
$AX = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad AY = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$
此时$AX=AY$但$X \neq Y$，故命题（3）错误。