45.判断题(2分) 如果函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为M，最小值为m，那么 m(b-a)leint_(a)^bf(x)dxle M(b-a) （）A. 对B. 错

本题考查定积分的估值定理相关知识。解题思路是根据定积分的定义和性质，结合函数在区间上的最大值和最小值来推导定积分的取值范围。

步骤一：明确定积分的定义

定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$，其中$\lambda$是区间$[a,b]$分割的细度，$\Delta x_{i}$是第$i$个小区间的长度，$\xi_{i}$是第$i$个小区间内的任意一点。

步骤二：根据函数最值确定$f(\xi_{i})$的范围

已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，那么对于任意的$\xi_{i}\in [a,b]$，都有$m\leq f(\xi_{i})\leq M$。

步骤三：对不等式两边同时乘以$\Delta x_{i}$

因为$\Delta x_{i}>0$，所以不等式$m\leq f(\xi_{i})\leq M$两边同时乘以$\Delta x_{i}$，不等号方向不变，得到$m\Delta x_{i}\leq f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq M\Delta x_{i}$。

步骤四：对不等式两边同时求和

对$i$从$1$到$n$求和，可得$\sum_{i = 1}^{n}m\Delta x_{i}\leq \sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq \sum_{i = 1}^{n}M\Delta x_{i}$。
由于$m$和$M$是常数，可将其提出求和符号外，即$m\sum_{i = 1}^{n}\Delta x_{i}\leq \sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq M\sum_{i = 1}^{n}\Delta x_{i}$。
而$\sum_{i = 1}^{n}\Delta x_{i}=b - a$，所以$m(b - a)\leq \sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq M(b - a)$。

步骤五：对不等式两边取极限

当$\lambda \to 0$时，对不等式$m(b - a)\leq \sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq M(b - a)$两边取极限，因为$\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx$，所以$m(b - a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b - a)$。