5.当x→0时，e-e^cos x是sqrt[3](1+x^2)-1的（）.A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶但非等价无穷小D. 等价无穷小

步骤 1：分析 $ e - e^{\cos x} $ 的行为
首先，考虑 $ e^{\cos x} $ 在 $ x \to 0 $ 时的展开。我们知道 $ \cos x $ 在 $ x \to 0 $ 时可以使用泰勒展开式近似为:
\[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \]
因此,
\[ e^{\cos x} \approx e^{1 - \frac{x^2}{2}} = e \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \]
使用 $ e^u $ 的泰勒展开式 $ e^u \approx 1 + u $ (当 $ u \to 0 $ 时), 我们得到:
\[ e^{-\frac{x^2}{2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2} \]
所以,
\[ e^{\cos x} \approx e \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = e - \frac{ex^2}{2} \]
因此,
\[ e - e^{\cos x} \approx e - \left(e - \frac{ex^2}{2}\right) = \frac{ex^2}{2} \]
这表明 $ e - e^{\cos x} $ 是 $ x^2 $ 的同阶无穷小。

步骤 2：分析 $ \sqrt[3]{1+x^2} - 1 $ 的行为
接下来，考虑 $ \sqrt[3]{1+x^2} $ 在 $ x \to 0 $ 时的展开。使用 $ (1+u)^n $ 的泰勒展开式 $ (1+u)^n \approx 1 + nu $ (当 $ u \to 0 $ 时), 我们得到:
\[ \sqrt[3]{1+x^2} = (1+x^2)^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \frac{1}{3}x^2 \]
所以,
\[ \sqrt[3]{1+x^2} - 1 \approx \left(1 + \frac{1}{3}x^2\right) - 1 = \frac{x^2}{3} \]
这表明 $ \sqrt[3]{1+x^2} - 1 $ 也是 $ x^2 $ 的同阶无穷小。

步骤 3：比较两个无穷小
现在，我们比较 $ e - e^{\cos x} $ 和 $ \sqrt[3]{1+x^2} - 1 $:
\[ \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2} - 1} \approx \frac{\frac{ex^2}{2}}{\frac{x^2}{3}} = \frac{e}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3e}{2} \]
由于 $ \frac{3e}{2} $ 是一个常数，不等于1，所以 $ e - e^{\cos x} $ 和 $ \sqrt[3]{1+x^2} - 1 $ 是同阶但非等价无穷小。