题目

求双曲线y=(x)^2，直线y=2x-1及x轴所围成的图形的面积.

求双曲线$y={x}^{2}$，直线$y=2x-1$及$x$轴所围成的图形的面积.

题目解答

答案

如图所示：

由图可知：直线$y=2x-1$与$x$轴的交点$B\left ( {\dfrac {1} {2}，0} \right )$

联立$\left \{ {{\begin{array}{ll} {y=2x-1} \\\ {y={x}^{2}} \end{array}}} \right .$得：$A\left ( {1,1} \right )$

$\therefore $双曲线$y={x}^{2}$，直线$y=2x-1$及$x$轴所围成的图形的面积

$S=\int ^{1}_{0} {{x}^{2}}dx-\int ^{1}_{\dfrac {1} {2}} \left ( {2x-1} \right )dx$$=\dfrac {1} {3}{x}^{3}{|}^{1}_{0}-\left ( {{x}^{2}-x} \right ){|}^{1}_{\dfrac {1} {2}}$$=\dfrac {1} {3}-\dfrac {1} {4}=\dfrac {1} {12}$

综上所述，结论是：$\dfrac {1} {12}$

解析

考查要点：本题主要考查利用定积分计算平面图形的面积，涉及二次曲线与直线的交点求解、积分区域的划分及积分计算。

解题核心思路：

  1. 确定交点：找到双曲线$y=x^2$与直线$y=2x-1$的交点，以及直线与$x$轴的交点，明确积分上下限。
  2. 划分区域：根据交点将图形分为两部分：双曲线与$x$轴围成的区域（$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$）和双曲线与直线围成的区域（$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$）。
  3. 积分计算：分别计算两部分的面积并求和，注意上下函数的顺序。

破题关键点：

  • 联立方程求交点：通过联立双曲线与直线方程，确定交点坐标。
  • 正确划分积分区间：根据曲线与直线的位置关系，合理划分积分区间，避免符号错误。

步骤1：确定交点

  1. 直线与$x$轴的交点：令$y=0$，解方程$2x-1=0$，得$x=\frac{1}{2}$，即交点$B\left(\frac{1}{2}, 0\right)$。
  2. 双曲线与直线的交点：联立方程$x^2=2x-1$，整理得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$，对应$y=1^2=1$，即交点$A(1,1)$。

步骤2：划分积分区域

  • 区域1：$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$，双曲线$y=x^2$在$x$轴上方，面积为$\int_0^{\frac{1}{2}} x^2 \, dx$。
  • 区域2：$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$，双曲线$y=x^2$在直线$y=2x-1$上方，面积为$\int_{\frac{1}{2}}^1 (x^2 - (2x-1)) \, dx$。

步骤3：计算积分

  1. 区域1的积分：
    $\int_0^{\frac{1}{2}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{24}.$

  2. 区域2的积分：
    $\int_{\frac{1}{2}}^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{\frac{1}{2}}^1.$
    代入上下限：

    • 上限$x=1$：$\frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3}$。
    • 下限$x=\frac{1}{2}$：$\frac{1}{3} \left( \frac{1}{8} \right) - \left( \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{24}$。
    • 积分结果：$\frac{1}{3} - \frac{5}{24} = \frac{1}{24}$。

  3. 总面积：
    $S = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12}.$