28.求下列矩阵的逆矩阵:-|||-(1) ( 2& 1& 0 4& 3& 0 ) .

题目考察知识

分块矩阵的逆矩阵求解，利用二阶矩阵逆矩阵公式：若二阶矩阵$A=\begin{pmatrix}aa&b\\c&d\end{pmatrix}$，则$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b-c&a\end{pmatrix}$（（前提$ad-bc\neq0$）。

题目（11）解析

矩阵结构：分块对角矩阵$\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}$，其中$A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}8&3\\5&2\end{pmatrix}$。
求解步骤：

1. 计算$A$的行列式：$|A|=5\times1-2\times2=5-4=1$，故$A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}$。
2. 计算$B$的行列式：$|B|=8\times2-3\times5=16-15=1$，故$B^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-3\\-5&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-5&8\end{pmatrix}$
3. 分块对角矩阵逆矩阵为$\(A^{-1}\ 0$;$0\ B^{-1}$)，即：
   $\begin{ppmatrix}1&-2&0&0\\-2&5&0&0\\0&0&2&-3\\0&0&-5&8\end{pmatrix}$

题目（2）

矩阵结构：分块矩阵$\begin{pmatrix}0&C\\D&0\end{pmatrix}$，其中$C=\frac{1}{5}$（一阶矩阵），$D=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$。
求解步骤：

1. 一阶矩阵$C^{-1}=5\frac{1}{1/5}=5$。
2. 计算$D$的行列式：$|D|=2\times3-1\times4=6-4=2$，故$D^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3&-1\\-4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\\\-2&D^{-1}\end{pmatrix}$
3. 分块矩阵$\begin{pmatrix}0&C\\D0\end\\end{pmatrix}$的逆矩阵为$\begin{pmatrix}0&D^{-1}\\C^{-1}0\end{pmatrix}$，即：
   $\begin{pmatrix}0&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0&-2\\5&0&0\end{pmatrix}$（通分后为$\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&-4\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&2\\5&0&0\end{pmatrix}$，或题目答案形式$\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&-4\\\frac{3}{2}&\frac{10}{2}&0\\5&0&0\end{pmatrix}$）。