若x→0，则(sin x+x^2cos(1)/(x))是(1+cos x)ln(1+x)（）A. 等价无穷小B. 同阶无穷小C. 高阶无穷小D. 无法判断

本题考查无穷小的比较，解题思路是先明确无穷小比较的定义，即通过求两个无穷小量之比的极限来判断它们的关系，然后分别分析分子分母在$x\to0$时的等价无穷小，最后计算极限得出结果。

步骤一：分析分子$\sin x + x^{2}\cos\frac{1}{x}$在$x\to0$时的情况

• 当$x\to0$时，根据等价无穷小的知识，$\sin x\sim x$。
• 对于$x^{2}\cos\frac{1}{x}$，因为$\cos\frac{1}{x}$是有界函数，即$\vert\cos\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，而$\lim\limits_{x\to0}x^{2}=0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim\limits_{x\to0}x^{2}\cos\frac{1}{x}=0$。
• 所以当$x\to0$时，$\sin x + x^{2}\cos\frac{1}{x}\sim\sin x\sim x$。

步骤二：分析分母$(1 + \cos x)\ln(1 + x)$在$x\to0$时的情况

• 当$x\to0$时，$\lim\limits_{x\to0}(1 + \cos x)=1 + \cos0=1 + 1 = 2$。
• 又因为当$x\to0$时，$\ln(1 + x)\sim x$。
• 所以当$x\to0$时，$(1 + \cos x)\ln(1 + x)\sim2\ln(1 + x)\sim2x$。

步骤三：计算两个无穷小量之比的极限

求$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x + x^{2}\cos\frac{1}{x}}{(1 + \cos x)\ln(1 + x)}$，由前面的分析可知，该极限可转化为$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{2x}$。
$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

因为极限值$\frac{1}{2}$为非零常数，根据同阶无穷小的定义：设$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且$\beta(x)\neq0$，若$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C\neq0$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小，所以$(\sin x + x^{2}\cos\frac{1}{x})$与$(1 + \cos x)\ln(1 + x)$是同阶无穷小。