一、知识点练习默认部分5.单选题矩阵}11&15-2&x，则x=_____.（）bigcircA.0bigcircB.1bigcircC.2bigcircD.3
题目解答
答案
解析
本题考查矩阵特征值与特征向量的定义及相关计算。解题思路是根据矩阵特征值与特征向量的定义$A\alpha = \lambda\alpha$（其中$A$为矩阵，$\alpha$为特征向量，$\lambda$为特征值），将已知矩阵和特征向量代入该等式，通过矩阵乘法运算得到等式两边的向量表达式，再根据向量对应元素相等列出方程组，最后求解方程组得到$x$的值。
设矩阵$A = \begin{bmatrix} 11 & 15 \\ -2 & x \end{bmatrix}$，特征向量$\alpha = \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix}$。
根据特征值定义$A\alpha = \lambda\alpha$，可得：
$\begin{bmatrix} 11 & 15 \\ -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix}$
计算等式左边的矩阵乘法：
$\begin{bmatrix} 11\times(-5) + 15\times2 \\ -2\times(-5) + x\times2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -55 + 30 \\ 10 + 2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -25 \\ 10 + 2x \end{bmatrix}$
等式右边为：
$\lambda \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5\lambda \\ 2\lambda \end{bmatrix}$
因为等式两边向量相等，则对应元素相等，可得到方程组：
$\begin{cases}-25 = -5\lambda \\10 + 2x = 2\lambda\end{cases}$
解第一个方程$-25 = -5\lambda$，两边同时除以$-5$可得：
$\lambda = \frac{-25}{-5} = 5$
将$\lambda = 5$代入第二个方程$10 + 2x = 2\lambda$中，得到：
$10 + 2x = 2\times5$
即：
$10 + 2x = 10$
两边同时减去$10$可得：
$2x = 10 - 10 = 0$
两边再同时除以$2$，解得：
$x = \frac{0}{2} = 0$