已知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]^2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f^(n)(x)是(　　)A. n![f(x)]^n+1B. n[f(x)]^n+1C. [f(x)]^2nD. n![f(x)]^2n

考查要点：本题主要考查高阶导数的求解规律及归纳推理能力。关键在于通过逐次求导发现导数表达式中的阶乘与幂次的规律，并利用数学归纳法证明其普遍性。

解题核心思路：

1. 逐次求导：从一阶导数开始，逐步计算二阶、三阶导数，观察阶乘与幂次的变化规律。
2. 归纳猜想：通过前几阶导数的结果，猜想一般形式为$f^{(n)}(x) = n! [f(x)]^{n+1}$。
3. 数学归纳法：严格证明猜想对任意正整数$n$成立。

破题关键点：

• 链式法则的应用：每次求导时，需将$f'(x) = [f(x)]^2$代入，形成递推关系。
• 阶乘与幂次的关联：每阶导数的系数为阶乘，幂次为阶数加1。

步骤1：计算前几阶导数，寻找规律

1. 一阶导数：
   $f'(x) = [f(x)]^2 = 1! [f(x)]^{1+1}$
2. 二阶导数：
   $f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]^2 = 2f(x)f'(x) = 2f(x) \cdot [f(x)]^2 = 2! [f(x)]^{2+1}$
3. 三阶导数：
   $f'''(x) = \frac{d}{dx}[f''(x)] = \frac{d}{dx}[2[f(x)]^3] = 6[f(x)]^2 \cdot f'(x) = 6[f(x)]^2 \cdot [f(x)]^2 = 6[f(x)]^4 = 3! [f(x)]^{3+1}$

步骤2：归纳猜想一般形式

通过前3阶导数可得规律：
$f^{(n)}(x) = n! [f(x)]^{n+1}$

步骤3：数学归纳法证明

归纳基础：当$n=1$时，$f'(x) = 1! [f(x)]^{1+1}$，成立。
归纳假设：假设当$n=k$时，$f^{(k)}(x) = k! [f(x)]^{k+1}$成立。
归纳递推：当$n=k+1$时，
$\begin{aligned}f^{(k+1)}(x) &= \frac{d}{dx}[f^{(k)}(x)] \\&= \frac{d}{dx}\left[ k! [f(x)]^{k+1} \right] \\&= k! \cdot (k+1) [f(x)]^{k} \cdot f'(x) \\&= k! \cdot (k+1) [f(x)]^{k} \cdot [f(x)]^2 \\&= (k+1)! [f(x)]^{(k+1)+1}\end{aligned}$
因此，猜想对$n=k+1$成立。由数学归纳法，命题对所有正整数$n$成立。