题目
证明方程x=sinx+2至少有一个小于3的正根
证明方程$$x=sinx+2$$至少有一个小于3的正根
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造函数
构造函数 $f(x) = x - \sin x - 2$，原方程 $x = \sin x + 2$ 可以转化为 $f(x) = 0$。
步骤 2：求导数
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x) = 1 - \cos x$。由于 $-1 \leq \cos x \leq 1$，所以 $f'(x) \geq 0$，即 $f(x)$ 在实数集上单调递增。
步骤 3：计算 $f(2)$ 和 $f(3)$
计算 $f(2) = 2 - \sin 2 - 2 = -\sin 2 < 0$，计算 $f(3) = 3 - \sin 3 - 2 = 1 - \sin 3 > 0$。
步骤 4：应用零点存在定理
由于 $f(x)$ 在实数集上单调递增，且 $f(2) < 0$，$f(3) > 0$，根据零点存在定理，$f(x)$ 在区间 $(2, 3)$ 内至少存在一个零点，即方程 $x = \sin x + 2$ 在区间 $(2, 3)$ 内至少有一个根。
构造函数 $f(x) = x - \sin x - 2$，原方程 $x = \sin x + 2$ 可以转化为 $f(x) = 0$。
步骤 2：求导数
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x) = 1 - \cos x$。由于 $-1 \leq \cos x \leq 1$，所以 $f'(x) \geq 0$，即 $f(x)$ 在实数集上单调递增。
步骤 3：计算 $f(2)$ 和 $f(3)$
计算 $f(2) = 2 - \sin 2 - 2 = -\sin 2 < 0$，计算 $f(3) = 3 - \sin 3 - 2 = 1 - \sin 3 > 0$。
步骤 4：应用零点存在定理
由于 $f(x)$ 在实数集上单调递增，且 $f(2) < 0$，$f(3) > 0$，根据零点存在定理，$f(x)$ 在区间 $(2, 3)$ 内至少存在一个零点，即方程 $x = \sin x + 2$ 在区间 $(2, 3)$ 内至少有一个根。