题目
228 已知 _(1)=x, _(2)=(x)^2 _(3)=(e)^x 为方程 'pppq+q(x)y=f(x) 的三个特-|||-解,则该方程的通解是-|||-(A) =(C)_(1)x+(C)_(2)(x)^2+(e)^x-|||-(B) =(C)_(1)(x)^2+(C)_(2)(e)^x+x.-|||-(C) =(C)_(1)(x-(x)^2)+(C)_(2)(x-(e)^x)+x.-|||-(D) =(C)_(1)(x-(x)^2)+(C)_(2)((x)^2-(e)^x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程类型
方程 $y''+p(x)y'+g(x)y=f(x)$ 是一个二阶线性非齐次方程。
步骤 2：确定齐次方程的特解
已知 ${y}_{1}=x$ ,${y}_{2}={x}^{2}$ ,${y}_{3}={e}^{x}$ 为方程的三个特解，其中 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 是齐次方程的特解，而 ${y}_{3}$ 是非齐次方程的特解。
步骤 3：构造齐次方程的通解
齐次方程的通解由两个线性无关的特解构成，即 $y_{h} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}$。这里，我们选择 $(x-{x}^{2})$ 和 $(x-{e}^{x})$ 作为线性无关的特解。
步骤 4：构造非齐次方程的通解
非齐次方程的通解由齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解构成，即 $y = y_{h} + y_{p}$。这里，$y_{p} = x$。
方程 $y''+p(x)y'+g(x)y=f(x)$ 是一个二阶线性非齐次方程。
步骤 2：确定齐次方程的特解
已知 ${y}_{1}=x$ ,${y}_{2}={x}^{2}$ ,${y}_{3}={e}^{x}$ 为方程的三个特解，其中 ${y}_{1}$ 和 ${y}_{2}$ 是齐次方程的特解，而 ${y}_{3}$ 是非齐次方程的特解。
步骤 3：构造齐次方程的通解
齐次方程的通解由两个线性无关的特解构成，即 $y_{h} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}$。这里，我们选择 $(x-{x}^{2})$ 和 $(x-{e}^{x})$ 作为线性无关的特解。
步骤 4：构造非齐次方程的通解
非齐次方程的通解由齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解构成，即 $y = y_{h} + y_{p}$。这里，$y_{p} = x$。