求下列向量组的秩及一个极大无关组,并将不属于极大无关组的向量由极大无关-|||-组线性表示:-|||-(1) 1 -3 -1 1)-|||-α1= 3 α2= 2 α3= -3 α4= 4 α5= 5-|||-1 2 -9 -8 -1

考查要点：本题主要考查向量组的秩、极大无关组的求法，以及将非极大无关组的向量用极大无关组线性表示的能力。

解题核心思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为矩阵的列向量排列。
2. 行简化阶梯形：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，确定主列（对应极大无关组）。
3. 秩的确定：主列的数量即为向量组的秩。
4. 线性表示：根据行简化后的矩阵，写出非主列向量的线性组合系数。

破题关键点：

• 主列的判断：行简化后，非零行的第一个非零元素所在列为主列。
• 线性关系的读取：非主列的列向量可表示为主列的线性组合，系数由行简化后的矩阵直接得出。

将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 组成矩阵 $A$，进行初等行变换：

$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\3 & 2 & -3 & 4 & 5 \\1 & 2 & -9 & -8 & -1\end{pmatrix}$

行变换过程：

1. 消去第二行第一个元素：$r_2 \leftarrow r_2 - 3r_1$
   $r_2: [3-3\cdot1, 2-3\cdot1, -3-3\cdot(-3), 4-3\cdot(-1), 5-3\cdot1] = [0, -1, 6, 7, 2]$
2. 消去第三行第一个元素：$r_3 \leftarrow r_3 - r_1$
   $r_3: [1-1, 2-1, -9-(-3), -8-(-1), -1-1] = [0, 1, -6, -7, -2]$
3. 消去第三行第二个元素：$r_3 \leftarrow r_3 + r_2$
   $r_3: [0+0, 1+(-1), -6+6, -7+7, -2+2] = [0, 0, 0, 0, 0]$
4. 整理第二行：$r_2 \leftarrow -r_2$
   $r_2: [0, 1, -6, -7, -2]$
5. 消去第一行第二个元素：$r_1 \leftarrow r_1 - r_2$
   $r_1: [1-0, 1-1, -3-(-6), -1-(-7), 1-(-2)] = [1, 0, 3, 6, 3]$

最终行简化阶梯形矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 6 & 3 \\0 & 1 & -6 & -7 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

结论：

• 主列为第1、2列，对应极大无关组 $\{\alpha_1, \alpha_2\}$，秩为2。
• 非主列向量的表示：
  • $\alpha_3 = 3\alpha_1 - 6\alpha_2$
  • $\alpha_4 = 6\alpha_1 - 7\alpha_2$
  • $\alpha_5 = 3\alpha_1 - 2\alpha_2$