题目
iiint_(Omega) ((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) )dx dy dz = ( ), 其中区域Omega是由椭球面(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1所围成的区域。 A. (5)/(6) pi abcB. (3)/(4) pi abcC. (4)/(5) pi abcD. (3)/(5) pi abc
$\iiint_{\Omega} \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right)dx dy dz = (\quad)$,
其中区域$\Omega$是由椭球面$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$所围成的区域。
- A. $\frac{5}{6} \pi abc$
- B. $\frac{3}{4} \pi abc$
- C. $\frac{4}{5} \pi abc$
- D. $\frac{3}{5} \pi abc$
题目解答
答案
令 $x = a\rho\sin\varphi\cos\theta$，$y = b\rho\sin\varphi\sin\theta$，$z = c\rho\cos\varphi$，则雅可比行列式 $J = abc\rho^2\sin\varphi$。被积函数变为 $\rho^2$，积分区域为 $0 \leq \rho \leq 1$，$0 \leq \varphi \leq \pi$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
三重积分化为：
$$
\iiint\limits_{\Omega} \rho^2 \cdot abc\rho^2\sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta = abc \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \int_0^1 \rho^4 \, d\rho
$$
计算得：
$$
abc \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi abc}{5}
$$
答案：$\boxed{C}$