设函数(x)f 在闭区间(x)f上具有三阶导数,且 (x)f，证明：存在(x)f使得(x)f

考查要点：本题主要考查积分与导数的综合应用，涉及泰勒展开、罗尔定理等核心知识点。关键在于通过构造辅助函数，将积分条件转化为函数性质，进而利用导数工具证明存在性。

解题思路：

1. 构造辅助函数：定义$F(x) = \int_{2}^{x} f(t) \, dt$，利用积分与导数的关系，建立$F(x)$与$f(x)$的联系。
2. 泰勒展开：在$x=2$处对$F(x)$展开，结合$f'(2)=0$的条件，得到$F(1)$和$F(3)$的表达式。
3. 积分条件转化：利用题目中$\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} f(x) \, dx$，得出$F(1) + F(3) = 0$。
4. 导数关系：通过展开式联立，得到$f''(\xi_1) = f''(\xi_2)$，最后应用罗尔定理证明$f'''(\xi) = 0$的存在性。

构造辅助函数

定义$F(x) = \int_{2}^{x} f(t) \, dt$，则：

• $F(2) = 0$，
• $F'(x) = f(x)$，
• $F''(x) = f'(x)$，
• $F'''(x) = f''(x)$，
• $F''''(x) = f'''(x)$。

泰勒展开

在$x=2$处对$F(x)$展开：

• 对于$x=1$：
  $F(1) = F(2) + F'(2)(1-2) + \frac{F''(2)}{2!}(1-2)^2 + \frac{F'''(\xi_1)}{3!}(1-2)^3$
  代入$F(2)=0$，$F'(2)=f(2)$，$F''(2)=0$，得：
  $F(1) = -f(2) - \frac{F'''(\xi_1)}{6}$

• 对于$x=3$：
  $F(3) = F(2) + F'(2)(3-2) + \frac{F''(2)}{2!}(3-2)^2 + \frac{F'''(\xi_2)}{3!}(3-2)^3$
  代入后得：
  $F(3) = f(2) + \frac{F'''(\xi_2)}{6}$

利用积分条件

由$\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} f(x) \, dx$，得$F(1) = -F(3)$，即：
$F(1) + F(3) = 0$
联立展开式：
$\left( -f(2) - \frac{F'''(\xi_1)}{6} \right) + \left( f(2) + \frac{F'''(\xi_2)}{6} \right) = 0$
化简得：
$F'''(\xi_2) = F'''(\xi_1)$
即：
$f''(\xi_2) = f''(\xi_1)$

应用罗尔定理

令$g(x) = f''(x)$，则$g(\xi_1) = g(\xi_2)$，且$g(x)$在$[\xi_1, \xi_2]$上可导。根据罗尔定理，存在$\varepsilon \in (\xi_1, \xi_2) \subset (1,3)$，使得：
$g'(\varepsilon) = f'''(\varepsilon) = 0$