题目
解：lim _(xarrow 1)(dfrac (1)(x-1)-dfrac (1)(ln x))-|||-__ __
解：
题目解答
答案
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解析
步骤 1：确定极限类型
给定的极限是 $\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {1}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x})$，当 $x$ 趋向于 1 时，分子和分母都趋向于 0，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的不定式，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
首先，将原式改写为一个分式的形式，以便应用洛必达法则：
$$\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {1}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x}) = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x - (x-1)}{(x-1)\ln x}$$
接下来，对分子和分母分别求导：
分子的导数为：$\frac{d}{dx}(\ln x - (x-1)) = \frac{1}{x} - 1$
分母的导数为：$\frac{d}{dx}((x-1)\ln x) = \ln x + \frac{x-1}{x}$
因此，应用洛必达法则后，极限变为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\frac{1}{x} - 1}{\ln x + \frac{x-1}{x}}$$
步骤 3：简化并求解极限
将 $x=1$ 代入上述表达式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\frac{1}{x} - 1}{\ln x + \frac{x-1}{x}} = \dfrac{1 - 1}{0 + 0} = \dfrac{0}{0}$$
再次应用洛必达法则，对分子和分母再次求导：
分子的导数为：$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x} - 1) = -\frac{1}{x^2}$
分母的导数为：$\frac{d}{dx}(\ln x + \frac{x-1}{x}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$
因此，极限变为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{-1}{x + 1} = -\frac{1}{2}$$
给定的极限是 $\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {1}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x})$，当 $x$ 趋向于 1 时，分子和分母都趋向于 0，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的不定式，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
首先，将原式改写为一个分式的形式，以便应用洛必达法则：
$$\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {1}{x-1}-\dfrac {1}{\ln x}) = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x - (x-1)}{(x-1)\ln x}$$
接下来，对分子和分母分别求导：
分子的导数为：$\frac{d}{dx}(\ln x - (x-1)) = \frac{1}{x} - 1$
分母的导数为：$\frac{d}{dx}((x-1)\ln x) = \ln x + \frac{x-1}{x}$
因此，应用洛必达法则后，极限变为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\frac{1}{x} - 1}{\ln x + \frac{x-1}{x}}$$
步骤 3：简化并求解极限
将 $x=1$ 代入上述表达式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{\frac{1}{x} - 1}{\ln x + \frac{x-1}{x}} = \dfrac{1 - 1}{0 + 0} = \dfrac{0}{0}$$
再次应用洛必达法则，对分子和分母再次求导：
分子的导数为：$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x} - 1) = -\frac{1}{x^2}$
分母的导数为：$\frac{d}{dx}(\ln x + \frac{x-1}{x}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$
因此，极限变为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{-1}{x + 1} = -\frac{1}{2}$$