[例4]设函数f(x)= cases (x^3-x, & x ge 0 sin x div x+4, & x< 0 , )则x=0是f(x)的() A. 无穷间断点B. 跳跃间断点C. 振荡间断点D. 可去间断点

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的间断类型判断，需要掌握左右极限的计算及间断点分类标准。

解题核心思路：

1. 分别计算x=0处的左极限和右极限；
2. 比较左右极限是否存在及是否相等；
3. 根据间断点分类标准判断类型。

破题关键点：

• 右极限（x→0⁺）：直接代入x≥0的表达式；
• 左极限（x→0⁻）：利用重要极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$；
• 左右极限存在但不相等，属于第一类间断点中的跳跃间断点。

计算右极限（x→0⁺）

当$x \to 0^+$时，$f(x) = x^3 - x$，代入$x=0$得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^3 - 0 = 0$

计算左极限（x→0⁻）

当$x \to 0^-$时，$f(x) = \frac{\sin x}{x} + 4$。利用重要极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin x}{x} + 4 \right) = 1 + 4 = 5$

判断间断类型

• 右极限为$0$，左极限为$5$，均存在但不相等；
• 根据定义，左右极限存在且不相等时为跳跃间断点。