题目
微分方程^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0的通解为 A ^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0（^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0 为任意常数）B ^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0（^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0为任意常数）C ^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0（^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0为任意常数） D ^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0（^3dx+(2x(y)^2-1)dy=0为任意常数）
微分方程
的通解为
A 
（
为任意常数）
B 
（为任意常数）
C 
（为任意常数）
D 
（为任意常数）
题目解答
答案
观察微分方程，将
视为
的函数，即设待求函数为
则微分方程可整理为：
其满足一阶非齐次微分方程的标准形式
其中
由一阶非齐次微分方程的通解公式，可得通解为：
故微分方程的通解为：
（为任意常数）
即本题答案为B。
解析
步骤 1：整理微分方程
将微分方程${y}^{3}dx+(2x{y}^{2}-1)dy=0$整理为一阶非齐次线性微分方程的标准形式。将$dx$视为$dy$的函数，即设$x=x(y)$，则微分方程可整理为：
$$\dfrac {dx}{dy}+\dfrac {2x}{y}=\dfrac {1}{{y}^{3}}$$
步骤 2：识别标准形式
上述方程满足一阶非齐次线性微分方程的标准形式$\dfrac {dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$，其中$P(y)=\dfrac {2}{y}$，$Q(y)=\dfrac {1}{{y}^{3}}$。
步骤 3：求解通解
根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式$x={e}^{-\int P(y)dy}(\int Q(y){e}^{\int P(y)dy}dy+C)$，代入$P(y)$和$Q(y)$，求解通解：
$$x={e}^{-\int \dfrac {2}{y}dy}(\int \dfrac {1}{{y}^{3}}{e}^{\int \dfrac {2}{y}dy}dy+C)$$
$$={e}^{-2\ln y}(\int \dfrac {1}{{y}^{3}}{e}^{2\ln y}dy+C)$$
$$=\dfrac {1}{{y}^{2}}(\int \dfrac {1}{{y}^{3}}\cdot {y}^{2}dy+C)$$
$$=\dfrac {1}{{y}^{2}}(\int \dfrac {1}{y}dy+C)$$
$$=\dfrac {1}{{y}^{2}}(\ln |y|+C)$$
将微分方程${y}^{3}dx+(2x{y}^{2}-1)dy=0$整理为一阶非齐次线性微分方程的标准形式。将$dx$视为$dy$的函数，即设$x=x(y)$，则微分方程可整理为：
$$\dfrac {dx}{dy}+\dfrac {2x}{y}=\dfrac {1}{{y}^{3}}$$
步骤 2：识别标准形式
上述方程满足一阶非齐次线性微分方程的标准形式$\dfrac {dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$，其中$P(y)=\dfrac {2}{y}$，$Q(y)=\dfrac {1}{{y}^{3}}$。
步骤 3：求解通解
根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式$x={e}^{-\int P(y)dy}(\int Q(y){e}^{\int P(y)dy}dy+C)$，代入$P(y)$和$Q(y)$，求解通解：
$$x={e}^{-\int \dfrac {2}{y}dy}(\int \dfrac {1}{{y}^{3}}{e}^{\int \dfrac {2}{y}dy}dy+C)$$
$$={e}^{-2\ln y}(\int \dfrac {1}{{y}^{3}}{e}^{2\ln y}dy+C)$$
$$=\dfrac {1}{{y}^{2}}(\int \dfrac {1}{{y}^{3}}\cdot {y}^{2}dy+C)$$
$$=\dfrac {1}{{y}^{2}}(\int \dfrac {1}{y}dy+C)$$
$$=\dfrac {1}{{y}^{2}}(\ln |y|+C)$$