题目

(2025·全国Ⅰ卷·高考真题) (1)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间[0,(pi)/(4)]的最大值:(2)给定thetain(0,pi)和ain R,证明:存在yin[a-theta,a+theta]使得cos ylecostheta;(3)设bin R,若存在varphiin R使得5cos x-cos(5x+varphi)le b对xin R恒成立,求b的最小值.

(2025·全国Ⅰ卷·高考真题) (1)求函数$f(x)=5\cos x-\cos 5x$在区间$[0,\frac{\pi}{4}]$的最大值: (2)给定$\theta\in(0,\pi)$和$a\in R$,证明:存在$y\in[a-\theta,a+\theta]$使得$\cos y\le\cos\theta$; (3)设$b\in R$,若存在$\varphi\in R$使得$5\cos x-\cos(5x+\varphi)\le b$对$x\in R$恒成立,求b的最小值.

题目解答

答案

(1) 求导得 $ f'(x) = 10\cos 3x \sin 2x $，临界点为 $ x = 0 $ 和 $ x = \frac{\pi}{6} $。
计算得 $ f(0) = 4 $，$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\sqrt{3} $，最大值为 $ 3\sqrt{3} $。
答案： $ \boxed{3\sqrt{3}} $

(2) 由余弦函数性质，区间 $[a - \theta, a + \theta]$ 内必存在 $ y $ 使 $ \cos y \leq \cos \theta $。
答案： 存在 such $ y $

(3) 令 $ g(x) = 5\cos x - \cos(5x + \varphi) $，最大值为 $ 3\sqrt{3} $（当 $ \varphi = 0 $ 时）。
答案： $ b $ 的最小值为 $ \boxed{3\sqrt{3}} $