题目

14.(简答题) 求定积分int_(0)^1xarctansqrt(x)dx.

14.(简答题) 求定积分$\int_{0}^{1}xarctan\sqrt{x}dx$.

题目解答

答案

设 $u = \arctan \sqrt{x}$，$dv = x \, dx$，则 $du = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} \, dx$，$v = \frac{x^2}{2}$。分部积分得： \[ \int_{0}^{1} x \arctan \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \arctan \sqrt{x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} \, dx \] 计算边界项： \[ \left[ \frac{x^2}{2} \arctan \sqrt{x} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{8} \] 化简剩余积分： \[ \int_{0}^{1} \frac{x^{3/2}}{4(1+x)} \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{t^4}{1+t^2} \, dt \quad (\text{令 } t = \sqrt{x}) \] 多项式除法后积分： \[ \int_{0}^{1} \left( t^2 - 1 + \frac{1}{1+t^2} \right) \, dt = -\frac{4}{3} + \frac{\pi}{2} \] 整理得： \[ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \left( -\frac{4}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{3} \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{3}}$

解析

本题主要考察定积分的计算，核心方法为分部积分法与换元积分法的综合运用，具体步骤如下：

步骤1：分部积分法拆分积分

选择合适的分部积分变量：
-- 设 $u = \arctan\sqrt{x}$（反三角函数，优先作为分部积分的 $u$，便于求导简化；

设 $dv = xdx$，积分后得 $v = \frac{x^2}{2}$。

根据分部积分公式 $\int udv = uv|_a^b - \int vdu$，计算得：
$\int_{0}^{1}x\arctan\sqrt{x}dx = \left[ \frac{x^2}{2}\arctan\sqrt{x} \right]_0^1 - \int_{0}^{1}\frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} dx$

步骤2：计算边界项

代入上下限 $x=1$和 $x=0$：

$x=1$时：$\frac{1^2}{2}\arctan\sqrt{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$；
$x=0$时，$\frac{0^2}{2}\arctan0 = 0$。

边界项结果为 $\frac{\pi}{8}$。

步骤3：换元简化剩余积分

剩余积分：$\int_{0}^{1}\frac{x^2}{4\sqrt{x}(1+x)}dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{1换换元 \( t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2tdt$，代入得：
$\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{t^4}{1+t^2}dt$

步骤4多项式除法与积分

对被积函数 (\frac{t^4}{1+t^2} 做多项式除法：
$\frac{t^4}{1+t^2} = t^2 - 1 + \frac{1}{1+t^2}$
积分得：
$\int_{0}^{1}(t^2 - 1 + \frac{1}{1+t^2})dt = \left( \frac{t^3}{3} - t + \arctan t \right)_0^1 = \left( \frac{1}{3} - 1 + \frac{\pi}{4} \right) - 0 = -\frac{2}{3} + \frac{\pi}{4}$

步骤5：合并结果

将边界项与剩余积分结果代入：
$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\left( -\frac{2}{3} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{8} - \left( -\frac{3} + \frac{\pi}{16} \right) = \frac{1}{3}$