4.[判断题]如果幂级数在x=x_(0)处发散，那么对于闭区域[-|x_(0)|,|x_(0)|]内任何x，幂级数都发散。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛性及收敛半径的概念，重点在于理解幂级数的收敛区域与发散区域的关系。

解题核心思路：
幂级数的收敛性由收敛半径决定。若幂级数在某点发散，说明该点到中心的距离不小于收敛半径。但题目中的闭区域可能包含在收敛半径内的点，因此不能直接推断该区域内所有点都发散。

破题关键点：

• 收敛半径的定义：幂级数在$|x - c| < R$时收敛，在$|x - c| > R$时发散。
• 反例构造：通过具体例子说明即使$x_0$处发散，闭区域$[-|x_0|, |x_0|]$内仍可能存在收敛的点。

题目陈述：若幂级数在$x = x_0$处发散，则闭区域$[-|x_0|, |x_0|]$内所有$x$均使幂级数发散。

分析过程：

1. 收敛半径的基本性质
   幂级数的收敛区域是以中心$c$为中心的对称区间，半径为$R$。若$|x - c| > R$，级数发散；若$|x - c| < R$，级数收敛。

2. 题目条件的解读
   若幂级数在$x = x_0$处发散，则$|x_0 - c| \geq R$。但题目中的闭区域$[-|x_0|, |x_0|]$可能包含满足$|x - c| < R$的点，这些点对应的$x$会使级数收敛。

3. 反例验证
   以中心$c = 0$、收敛半径$R = 1$的幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$为例：

   • 当$x_0 = 2$时，级数发散（因$|2| > 1$）。
   • 闭区域$[-2, 2]$包含$x = 0.5$（满足$|0.5| < 1$），此时级数收敛。
   • 这说明原命题不成立。

结论：题目中的陈述是错误的，正确答案为B 错。