抛物线 y^2 = 2x 与直线 y = x - 4 围成图形的面积是()。A. (8)/(5)B. 18C. (18)/(5)D. 8

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题思路是先求出抛物线$y^{2}=2x$与直线$y = x - 4$的交点坐标，从而确定积分区间，再根据定积分的几何意义，用定积分表示出所围成图形的面积，最后计算定积分的值。

步骤一：求交点坐标

联立抛物线方程$y^{2}=2x$与直线方程$y = x - 4$，将$x=y + 4$代入$y^{2}=2x$中，可得：
$y^{2}=2(y + 4)$
展开括号得$y^{2}=2y + 8$，移项化为一元二次方程的标准形式为$y^{2}-2y - 8 = 0$。
因式分解得$(y - 4)(y+2)=0$，则$y - 4 = 0$或$y + 2 = 0$，解得$y_1 = 4$，$y_2=-2$。
将$y_1 = 4$代入$y = x - 4$，得$4=x - 4$，解得$x_1 = 8$；将$y_2=-2$代入$y = x - 4$，得$-2=x - 4$，解得$x_2 = 2$。
所以交点坐标为$(2,-2)$和$(8,4)$。

步骤二：确定被积函数和积分区间

对于本题，选择对$y$积分较为方便。
由$y^{2}=2x$可得$x=\frac{y^{2}}{2}$，直线方程为$x=y + 4$。
在区间$[-2,4]$上，直线$x=y + 4$在抛物线$x=\frac{y^{2}}{2}$的右侧，根据定积分求面积公式$S=\int_{a}^{b} [f(y)-g(y)]dy$（其中$f(y)$为上方曲线，$g(y)$为下方曲线，$[a,b]$为积分区间），这里$f(y)=y + 4$，$g(y)=\frac{y^{2}}{2}$，积分区间为$[-2,4]$。

步骤三：计算定积分

$S=\int_{-2}^{4}[(y + 4)-\frac{y^{2}}{2}]dy$
根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}[f(y)-g(y)]dy=\int_{a}^{b}f(y)dy-\int_{a}^{b}g(y)dy$，可得：
$S=\int_{-2}^{4}(y + 4)dy-\int_{-2}^{4}\frac{y^{2}}{2}dy$
分别计算两个定积分：

• 计算$\int_{-2}^{4}(y + 4)dy$：
  根据定积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{-2}^{4}(y + 4)dy=(\frac{1}{2}y^{2}+4y)\big|_{-2}^{4}$
  将上限$4$和下限$-2$代入得：
  $(\frac{1}{2}\times4^{2}+4\times4)-(\frac{1}{2}\times(-2)^{2}+4\times(-2))$
  $=(8 + 16)-(2-8)$
  $=24-(-6)$
  $=30$
• 计算$\int_{-2}^{4}\frac{y^{2}}{2}dy$：
  $\int_{-2}^{4}\frac{y^{2}}{2}dy=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}y^{3}\big|_{-2}^{4}=\frac{1}{6}y^{3}\big|_{-2}^{4}$
  将上限$4$和下限$-2$代入得：
  $\frac{1}{6}\times4^{3}-\frac{1}{6}\times(-2)^{3}$
  $=\frac{64}{6}+\frac{8}{6}$
  $=\frac{72}{6}=12$

则$S = 30-12=18$。