2025年春季学期期末考试 (单选题，2分) int_(0)^1e^sqrt(x)dx= ( )。A. 0B. 2C. 1D. 3

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及换元积分法和分部积分法的综合应用。

解题核心思路：

1. 换元法：通过令$u = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$u$的积分，简化被积函数。
2. 分部积分法：对转化后的积分进一步拆分，利用分部积分公式降低计算复杂度。

破题关键点：

• 选择恰当的代换变量，将根号消去，使积分形式更易处理。
• 合理拆分分部积分中的$u$和$dv$，确保积分过程简化。

步骤1：变量代换
令$u = \sqrt{x}$，则$x = u^2$，$dx = 2u \, du$。积分上下限变为$u: 0 \to 1$。原积分变形为：
$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} e^u \cdot 2u \, du = 2 \int_{0}^{1} u e^u \, du$

步骤2：分部积分法
设$v = u$，$dw = e^u \, du$，则$dv = du$，$w = e^u$。根据分部积分公式：
$\int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C$

步骤3：代入上下限
计算定积分：
$\int_{0}^{1} u e^u \, du = \left[ u e^u - e^u \right]_{0}^{1} = \left(1 \cdot e^1 - e^1\right) - \left(0 \cdot e^0 - e^0\right) = 0 - (-1) = 1$

步骤4：最终结果
原积分值为：
$2 \times 1 = 2$