题目
判断正项级数敛散性(3)n=11-|||-1+a^n (a>0);
判断正项级数敛散性
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析级数的通项
级数的通项为 $\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$，其中 $a > 0$。我们需要根据 $a$ 的不同取值来判断级数的敛散性。
步骤 2：考虑 $a > 1$ 的情况
当 $a > 1$ 时，随着 $n$ 的增加，${a}^{n}$ 会迅速增大，因此 $1 + {a}^{n}$ 也会迅速增大，从而 $\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 会迅速减小。此时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 是收敛的，因为每一项都趋于0，且级数的和有限。
步骤 3：考虑 $0 < a \leqslant 1$ 的情况
当 $0 < a \leqslant 1$ 时，${a}^{n}$ 不会迅速增大，而是趋于0。因此，$1 + {a}^{n}$ 会接近1，从而 $\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 会接近1。此时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 是发散的，因为每一项都接近1，级数的和会无限增大。
级数的通项为 $\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$，其中 $a > 0$。我们需要根据 $a$ 的不同取值来判断级数的敛散性。
步骤 2：考虑 $a > 1$ 的情况
当 $a > 1$ 时，随着 $n$ 的增加，${a}^{n}$ 会迅速增大，因此 $1 + {a}^{n}$ 也会迅速增大，从而 $\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 会迅速减小。此时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 是收敛的，因为每一项都趋于0，且级数的和有限。
步骤 3：考虑 $0 < a \leqslant 1$ 的情况
当 $0 < a \leqslant 1$ 时，${a}^{n}$ 不会迅速增大，而是趋于0。因此，$1 + {a}^{n}$ 会接近1，从而 $\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 会接近1。此时，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{1+{a}^{n}}$ 是发散的，因为每一项都接近1，级数的和会无限增大。