已知函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 上连续,且 (x)=((x+1))^2+-|||-(int )_(0)^xf(t)dt ,则当 geqslant 2 时, ^(n)(0)= __ .

考查要点：本题主要考查微分方程与高阶导数的计算，需要结合积分方程通过求导转化为微分方程，进而找到各阶导数的递推关系。

解题核心思路：

1. 消去积分项：通过对原方程连续求导，将积分方程转化为微分方程。
2. 建立递推关系：通过观察高阶导数的表达式，发现从二阶导数开始，每一阶导数与前一阶导数之间的倍数关系。
3. 计算初始条件：确定低阶导数在$x=0$处的值，结合递推关系求出高阶导数。

破题关键点：

• 两次求导：第一次求导消去积分项，第二次求导得到微分方程。
• 递推规律：从二阶导数开始，每一阶导数是前一阶导数的两倍。

1. 求一阶导数
   原方程：
   $f(x) = (x+1)^2 + 2\int_0^x f(t)dt$
   对$x$求导得：
   $f'(x) = 2(x+1) + 2f(x)$

2. 求二阶导数
   对$f'(x)$求导：
   $f''(x) = 2 + 2f'(x)$

3. 求三阶及以上导数
   对$f''(x)$求导：
   $f'''(x) = 2f'(x) + 2f''(x) = 2f''(x)$
   同理，更高阶导数满足递推关系：
   $f^{(n)}(x) = 2f^{(n-1)}(x) \quad (n \geq 3)$

4. 计算初始条件

   • $f(0) = (0+1)^2 + 2\int_0^0 f(t)dt = 1$
   • $f'(0) = 2(0+1) + 2f(0) = 4$
   • $f''(0) = 2 + 2f'(0) = 10$

5. 递推求高阶导数
   根据递推关系$f^{(n)}(0) = 2f^{(n-1)}(0)$，可得：
   $f^{(n)}(0) = 2^{n-2} \cdot f''(0) = 2^{n-2} \cdot 10 = 5 \cdot 2^{n-1} \quad (n \geq 2)$