在什么条件下,函数 =dfrac (ax+b)(cx+d)的反函数就是它本身?

关键思路：函数与其反函数相等的条件是函数图像关于直线$y=x$对称。对于分式函数$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$，需通过求反函数并与原函数比较，推导参数$a,b,c,d$的关系。

核心步骤：

1. 求反函数：将原函数表达式中的$x$和$y$互换，解出$y$。
2. 等式比较：令反函数等于原函数，整理方程后比较系数。
3. 分类讨论：根据分母参数$c$是否为零，分情况讨论参数关系。

求反函数

原函数为$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$，交换$x$和$y$得：
$x = \dfrac{ay + b}{cy + d}$
解得反函数：
$y = \dfrac{-dx + b}{cx - a}$

令反函数等于原函数

比较原函数与反函数：
$\dfrac{ax + b}{cx + d} = \dfrac{-dx + b}{cx - a}$
交叉相乘并整理得：
$(ax + b)(cx - a) = (-dx + b)(cx + d)$
展开后比较系数，得到以下条件：

1. 二次项系数：$ac = -cd \implies a = -d$（若$c \neq 0$）。
2. 一次项系数：$-a^2 + bc = -d^2 + bc \implies a^2 = d^2$，结合$a = -d$，自动成立。
3. 常数项：$-ab = bd \implies b(a + d) = 0$，若$a = -d$，则$b$可任意；若$a = d$，则$b = 0$。

分情况讨论

1. 当$c \neq 0$时：必须满足$a = -d$，此时$b$任意。
2. 当$c = 0$时：
   • 若$d = -a$（即$a = -d$），则原函数为线性函数$y = -x - \dfrac{b}{a}$，反函数与原函数相同。
   • 若$d = a$，则必须$b = 0$，此时原函数为$y = x$。