题目
4.设向量组alpha_(1)=(1+a,1,1,1)^T,alpha_(2)=(2,2+a,2,2)^T,alpha_(3)=(3,3,3+a,3)^T,alpha_(4)=(4,4,4,4+a)^T,问何时它们线性相关？当线性相关时，求一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.
4.设向量组$\alpha_{1}=(1+a,1,1,1)^{T},\alpha_{2}=(2,2+a,2,2)^{T},\alpha_{3}=(3,3,3+a,3)^{T},$$\alpha_{4}=(4,4,4,4+a)^{T},$问何时它们线性相关？当线性相关时，求一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.
题目解答
答案
计算向量组的行列式：
\[
\det(A) = a^3(a + 10)
\]
当 $a = 0$ 或 $a = -10$ 时，行列式为零，向量组线性相关。
- **当 $a = 0$ 时**：
向量组变为 $\alpha_1 = (1,1,1,1)^T$，其余向量为 $\alpha_1$ 的倍数，极大无关组为 $\alpha_1$，其余向量可表示为 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，$\alpha_3 = 3\alpha_1$，$\alpha_4 = 4\alpha_1$。
- **当 $a = -10$ 时**：
向量组线性相关，极大无关组为 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$，且 $\alpha_1 = -\alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
a = 0: & \alpha_1 \text{为极大无关组，其余向量可由 } \alpha_1 \text{线性表示} \\
a = -10: & \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \text{为极大无关组，} \alpha_1 = -\alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算向量组的行列式
为了判断向量组是否线性相关，我们首先计算由这些向量构成的矩阵的行列式。矩阵 $A$ 由向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 组成，即
\[ A = \begin{pmatrix} 1+a & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2+a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3+a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4+a \end{pmatrix} \]
计算行列式 $\det(A)$，我们得到
\[ \det(A) = a^3(a + 10) \]
步骤 2：判断线性相关性
当 $\det(A) = 0$ 时，向量组线性相关。根据步骤 1 的结果，$\det(A) = a^3(a + 10)$，因此当 $a = 0$ 或 $a = -10$ 时，向量组线性相关。
步骤 3：求极大无关组并表示其余向量
- 当 $a = 0$ 时，向量组变为 $\alpha_1 = (1,1,1,1)^T$，其余向量为 $\alpha_1$ 的倍数，极大无关组为 $\alpha_1$，其余向量可表示为 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，$\alpha_3 = 3\alpha_1$，$\alpha_4 = 4\alpha_1$。
- 当 $a = -10$ 时，向量组线性相关，极大无关组为 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$，且 $\alpha_1 = -\alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4$。
为了判断向量组是否线性相关，我们首先计算由这些向量构成的矩阵的行列式。矩阵 $A$ 由向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 组成，即
\[ A = \begin{pmatrix} 1+a & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2+a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3+a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4+a \end{pmatrix} \]
计算行列式 $\det(A)$，我们得到
\[ \det(A) = a^3(a + 10) \]
步骤 2：判断线性相关性
当 $\det(A) = 0$ 时，向量组线性相关。根据步骤 1 的结果，$\det(A) = a^3(a + 10)$，因此当 $a = 0$ 或 $a = -10$ 时，向量组线性相关。
步骤 3：求极大无关组并表示其余向量
- 当 $a = 0$ 时，向量组变为 $\alpha_1 = (1,1,1,1)^T$，其余向量为 $\alpha_1$ 的倍数，极大无关组为 $\alpha_1$，其余向量可表示为 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，$\alpha_3 = 3\alpha_1$，$\alpha_4 = 4\alpha_1$。
- 当 $a = -10$ 时，向量组线性相关，极大无关组为 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$，且 $\alpha_1 = -\alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4$。