题目
初山数学 期末竞值题mersmensunrzecm-|||-26.(10分)已知 Delta ABC 中, 交AE的延长线于点D. 点E为 Delta ABC 内一点连接AF CE CE⊥-|||-AE,过点B作 bot AE, angle BAC=(90)^circ AB=AC-|||-(1)如图1,求证:-|||-=AE;-|||-(2)如图2,点H为BC的中点,连接EH、DH,求 angle EDH 的度数; Delta FHM 的面积为60-|||-(3)如图3,在(2)的条件下,点M为CH上一点,连接EM,点F为EM的中点.连接 angle EHB=-|||-D作 求线段EH的长.-|||-angle BHG, bot FH 交FH的延长线于点G,若 GH:FH=6:5 A-|||-A-|||-E C-|||-B-|||-D 图1-|||-A-|||-E-|||-C-|||-B H-|||-D 图2-|||-A-|||-E-|||-F-|||-C-|||-B H M-|||-D G-|||-图3-|||-第26题图
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 BD=AE
在 $\Delta ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，AB=AC，所以 $\Delta ABC$ 是等腰直角三角形。点E为 $\Delta ABC$ 内一点，连接AE、CE，过点B作 $BD \bot AE$。由于 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle AEC = 90^{\circ}$。因此，$\angle AEC = \angle ADB = 90^{\circ}$。又因为 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle AEC + \angle CAE = \angle CAE + \angle BAD = 90^{\circ}$。因此，$\angle AEC = \angle BAD$。在 $\Delta AEC$ 和 $\Delta ABD$ 中，$\angle AEC = \angle BAD$，$\angle AEC = \angle ADB = 90^{\circ}$，AC=AB。所以，$\Delta AEC \cong \Delta ABD$（ASA）。因此，AE=BD。
步骤 2：求 $\angle EDH$ 的度数
连接AH，因为AB=AC，BH=CH，所以 $\angle BAH = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$，且 $\angle AHB = 90^{\circ}$。所以，$\angle ABH = \angle ACH = 45^{\circ}$。因为 $\angle EAH = \angle BAH - \angle BAD = 45^{\circ} - \angle BAD$，$\angle DBH = 180^{\circ} - \angle ADB - \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAD = 90^{\circ} - \angle BAD$。所以，$\angle EAH = \angle DBH$。在 $\Delta AEH$ 和 $\Delta BDH$ 中，AE=BD，$\angle EAH = \angle DBH$，AH=BH。所以，$\Delta AEH \cong \Delta BDH$（SAS）。因此，EH=DH，$\angle AHE = \angle BHD$。所以，$\angle AHE + \angle EHB = \angle BHD + \angle EHB = 90^{\circ}$。因此，$\angle EHD = 90^{\circ}$。所以，$\angle EDH = \angle DEH = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$。
步骤 3：求线段EH的长
在 $\Delta FHM$ 中，$\Delta FHM$ 的面积为60，GH:FH=6:5。设GH=6x，FH=5x。因为 $\Delta FHM$ 的面积为60，所以 $\frac{1}{2} \times FH \times HM = 60$。所以，$HM = \frac{120}{5x} = \frac{24}{x}$。因为 $\angle BHG = 90^{\circ}$，所以 $\angle DGH = \angle HEF$，$\angle DGH = \angle EBH$，DH=EH。所以，$\Delta DGH \cong \Delta HEF$（AAS）。所以，GH=EF=6x，FH=EM=5x。因为点F为EM的中点，所以EM=2EF=12x。所以，HM=EM-MH=12x-5x=7x。所以，$\frac{24}{x} = 7x$。所以，$x = \frac{24}{7}$。所以，EH=5x=5 \times \frac{24}{7} = \frac{120}{7}$。
在 $\Delta ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，AB=AC，所以 $\Delta ABC$ 是等腰直角三角形。点E为 $\Delta ABC$ 内一点，连接AE、CE，过点B作 $BD \bot AE$。由于 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle AEC = 90^{\circ}$。因此，$\angle AEC = \angle ADB = 90^{\circ}$。又因为 $\angle BAC = 90^{\circ}$，所以 $\angle AEC + \angle CAE = \angle CAE + \angle BAD = 90^{\circ}$。因此，$\angle AEC = \angle BAD$。在 $\Delta AEC$ 和 $\Delta ABD$ 中，$\angle AEC = \angle BAD$，$\angle AEC = \angle ADB = 90^{\circ}$，AC=AB。所以，$\Delta AEC \cong \Delta ABD$（ASA）。因此，AE=BD。
步骤 2：求 $\angle EDH$ 的度数
连接AH，因为AB=AC，BH=CH，所以 $\angle BAH = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$，且 $\angle AHB = 90^{\circ}$。所以，$\angle ABH = \angle ACH = 45^{\circ}$。因为 $\angle EAH = \angle BAH - \angle BAD = 45^{\circ} - \angle BAD$，$\angle DBH = 180^{\circ} - \angle ADB - \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAD = 90^{\circ} - \angle BAD$。所以，$\angle EAH = \angle DBH$。在 $\Delta AEH$ 和 $\Delta BDH$ 中，AE=BD，$\angle EAH = \angle DBH$，AH=BH。所以，$\Delta AEH \cong \Delta BDH$（SAS）。因此，EH=DH，$\angle AHE = \angle BHD$。所以，$\angle AHE + \angle EHB = \angle BHD + \angle EHB = 90^{\circ}$。因此，$\angle EHD = 90^{\circ}$。所以，$\angle EDH = \angle DEH = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$。
步骤 3：求线段EH的长
在 $\Delta FHM$ 中，$\Delta FHM$ 的面积为60，GH:FH=6:5。设GH=6x，FH=5x。因为 $\Delta FHM$ 的面积为60，所以 $\frac{1}{2} \times FH \times HM = 60$。所以，$HM = \frac{120}{5x} = \frac{24}{x}$。因为 $\angle BHG = 90^{\circ}$，所以 $\angle DGH = \angle HEF$，$\angle DGH = \angle EBH$，DH=EH。所以，$\Delta DGH \cong \Delta HEF$（AAS）。所以，GH=EF=6x，FH=EM=5x。因为点F为EM的中点，所以EM=2EF=12x。所以，HM=EM-MH=12x-5x=7x。所以，$\frac{24}{x} = 7x$。所以，$x = \frac{24}{7}$。所以，EH=5x=5 \times \frac{24}{7} = \frac{120}{7}$。