设f(x)= ,xgt 0 a+{x)^2,xleqslant 0 . a 取多少时,才 能 使函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 内连续

本题考查分段函数在定义域内的连续性。解题的关键在于利用函数在某点连续的定义，即函数在该点的左极限、右极限都存在且等于该点的函数值。对于本题中的分段函数$f(x)$，需要分别求出$x = 0$处的左极限、右极限，再结合函数在$x = 0$处的函数值，建立等式求解$a$的值。

1. 求$x\to 0^+$时$f(x)$的极限（右极限）：
   当$x\gt 0$时，$f(x)=x\sin^{2}\frac{1}{x}$。
   因为$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant 1$，所以$0\leqslant\sin^{2}\frac{1}{x}\leqslant 1$。
   而$\lim\limits_{x\to 0^+}x = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得：
   $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x\sin^{2}\frac{1}{x}=0$
2. 求$x\to 0^-$时$f(x)$的极限（左极限）：
   当$x\leqslant 0$时，$f(x)=a + x^2$。
   根据极限的四则运算法则，$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}(a + x^2)$。
   因为$\lim\limits_{x\to 0^-}a = a$，$\lim\limits_{x\to 0^-}x^2 = 0$，所以$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=a + 0 = a$。
3. 根据函数连续的定义确定$a$的值：
   函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内连续，则在$x = 0$处连续，即$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$。
   由前面计算可知$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=a$，$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=0$，所以$a = 0$。