题目
设f(x)= ,xgt 0 a+{x)^2,xleqslant 0 . a 取多少时,才 能 使函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 内连续
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在x=0处的左极限
函数在x=0处的左极限为$\lim _{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^-}(a+x^2)=a$。
步骤 2：确定函数在x=0处的右极限
函数在x=0处的右极限为$\lim _{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^+}x\sin^2\frac{1}{x}$。
步骤 3：计算右极限
由于$\sin^2\frac{1}{x}$在x=0处有界，且x在x=0处趋于0，因此$\lim _{x\rightarrow 0^+}x\sin^2\frac{1}{x}=0$。
步骤 4：确定函数在x=0处的连续性
为了使函数在x=0处连续，左极限和右极限必须相等，即$a=0$。
函数在x=0处的左极限为$\lim _{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^-}(a+x^2)=a$。
步骤 2：确定函数在x=0处的右极限
函数在x=0处的右极限为$\lim _{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^+}x\sin^2\frac{1}{x}$。
步骤 3：计算右极限
由于$\sin^2\frac{1}{x}$在x=0处有界，且x在x=0处趋于0，因此$\lim _{x\rightarrow 0^+}x\sin^2\frac{1}{x}=0$。
步骤 4：确定函数在x=0处的连续性
为了使函数在x=0处连续，左极限和右极限必须相等，即$a=0$。