28.（单选题，14.2分）设随机变量X的分布律为：PX=k=(acdot2^k)/(k!),k=1,2,...，求常数a=____A. e^-1B. e^-2C. (1)/(e-1)D. (1)/(e^2)-1

本题考查离散型随机变量分布律的性质，解题思路是利用离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$这一性质来求解常数$a$。

已知随机变量$X$的分布律为$P\{X = k\} = \frac{a\cdot2^{k}}{k!},k = 1,2,\cdots$，根据离散型随机变量分布律的性质$\sum_{k = 1}^{\infty}P\{X = k\} = 1$，可得：
$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{a\cdot2^{k}}{k!}=1$
因为$a$为常数，可将其提出，即$a\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}=1$。
根据指数函数的幂级数展开式$e^{x}=\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$，那么$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}-1$。
令$x = 2$，则$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}=e^{2}-1$。
将$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}=e^{2}-1$代入$a\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}=1$中，得到$a(e^{2}-1)=1$。
求解$a$，可得$a = \frac{1}{e^{2}-1}$。