题目
设D: x^2 + y^2 leq 2x，由二重积分的几何意义知 iint_(D) sqrt(2x - x^2 - y^2) , dx , dy = ( ) A. (2)/(3) piB. (1)/(3) piC. D. (4)/(3) pi
设$D: x^2 + y^2 \leq 2x$，由二重积分的几何意义知
$\iint_{D} \sqrt{2x - x^2 - y^2} \, dx \, dy = (\quad)$
- A. $\frac{2}{3} \pi$
- B. $\frac{1}{3} \pi$
- C. $\quad$
- D. $\frac{4}{3} \pi$
题目解答
答案
将区域 $D: x^2 + y^2 \leq 2x$ 转换为圆的标准形式：
\[
(x-1)^2 + y^2 \leq 1
\]
表示以 $(1,0)$ 为中心，半径为 1 的圆。
被积函数 $\sqrt{2x - x^2 - y^2}$ 可化为：
\[
z^2 = 2x - x^2 - y^2 \implies (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad (z \geq 0)
\]
表示以 $(1,0,0)$ 为中心，半径为 1 的球的上半部分。
该上半球的体积为：
\[
\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi \times 1^3 = \frac{2}{3}\pi
\]
**答案：** $\boxed{A}$
解析
步骤 1：转换区域 $D$ 的形式
将区域 $D: x^2 + y^2 \leq 2x$ 转换为圆的标准形式： \[ (x-1)^2 + y^2 \leq 1 \] 表示以 $(1,0)$ 为中心，半径为 1 的圆。
步骤 2：化简被积函数
被积函数 $\sqrt{2x - x^2 - y^2}$ 可化为： \[ z^2 = 2x - x^2 - y^2 \implies (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad (z \geq 0) \] 表示以 $(1,0,0)$ 为中心，半径为 1 的球的上半部分。
步骤 3：计算上半球的体积
该上半球的体积为： \[ \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi \times 1^3 = \frac{2}{3}\pi \]
将区域 $D: x^2 + y^2 \leq 2x$ 转换为圆的标准形式： \[ (x-1)^2 + y^2 \leq 1 \] 表示以 $(1,0)$ 为中心，半径为 1 的圆。
步骤 2：化简被积函数
被积函数 $\sqrt{2x - x^2 - y^2}$ 可化为： \[ z^2 = 2x - x^2 - y^2 \implies (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad (z \geq 0) \] 表示以 $(1,0,0)$ 为中心，半径为 1 的球的上半部分。
步骤 3：计算上半球的体积
该上半球的体积为： \[ \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi \times 1^3 = \frac{2}{3}\pi \]