iint (4(x)^3+6(y)^5+z)dv=( ) ,iint (4(x)^3+6(y)^5+z)dv=( )是由iint (4(x)^3+6(y)^5+z)dv=( )所围成。A.iint (4(x)^3+6(y)^5+z)dv=( )B.iint (4(x)^3+6(y)^5+z)dv=( )C.iint (4(x)^3+6(y)^5+z)dv=( )D.iint (4(x)^3+6(y)^5+z)dv=( )

步骤 1：确定积分区域
题目中给出的积分区域是由${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2z$和$0\leqslant z\leqslant 1$所围成的。这意味着在$z$方向上，$z$的取值范围是$[0,1]$，而在$x$和$y$方向上，$x$和$y$的取值范围由${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2z$决定，即在每个$z$值下，$x$和$y$的取值范围是一个半径为$\sqrt{2z}$的圆。

步骤 2：将积分转换为极坐标
由于积分区域在$x$和$y$方向上是一个圆，因此将积分转换为极坐标会更加方便。在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2z}}(4r^3\cos^3\theta+6r^5\sin^5\theta+z)rdrd\theta dz$$

步骤 3：计算积分
由于$4r^3\cos^3\theta$和$6r^5\sin^5\theta$在$\theta$方向上是奇函数，因此它们在$[0,2\pi]$上的积分结果为0。因此，原积分可以简化为：
$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2z}}zrdrd\theta dz$$
$$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}z\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{2z}}d\theta dz$$
$$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}z\frac{2z}{2}d\theta dz$$
$$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}z^2d\theta dz$$
$$=\int_{0}^{1}2\pi z^2dz$$
$$=2\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{1}$$
$$=\frac{2\pi}{3}$$