线性方程组 } x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 x_1 - x_2 - x_3 = 2 x_1 - x_2 + x_3 = 1 只有唯一解。A 对B 错

我们来逐步分析这个线性方程组是否有唯一解。

题目给出的线性方程组是：

$\begin{cases}x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \quad \text{(1)}\\x_1 - x_2 - x_3 = 2 \quad \text{(2)}\\x_1 - x_2 + x_3 = 1 \quad \text{(3)}\end{cases}$

我们要判断这个方程组是否只有唯一解。线性方程组有唯一解的条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数（即满秩）。

第一步：写出系数矩阵和增广矩阵

系数矩阵 $ A $ 为：

$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\1 & -1 & -1 \\1 & -1 & 1\end{bmatrix}$

常数项为：$ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} $

增广矩阵 $ [A|b] $ 为：

$[A|b] = \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 3 \\1 & -1 & -1 & 2 \\1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right]$

第二步：使用高斯消元法化简增广矩阵

我们对增广矩阵进行行变换。

原增广矩阵：

$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 3 \\1 & -1 & -1 & 2 \\1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right]$

第1步：消去第2行和第3行的第一个元素（使它们变为0）

令 $ R_2 = R_2 - R_1 $，$ R_3 = R_3 - R_1 $：

$R_2: [1-1, -1-2, -1-1, 2-3] = [0, -3, -2, -1]$
$R_3: [1-1, -1-2, 1-1, 1-3] = [0, -3, 0, -2]$

得到：

$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 3 \\0 & -3 & -2 & -1 \\0 & -3 & 0 & -2\end{array}\right]$

第2步：消去第3行的第二个元素

令 $ R_3 = R_3 - R_2 $：

$R_3: [0-0, -3-(-3), 0-(-2), -2-(-1)] = [0, 0, 2, -1]$

得到：

$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 3 \\0 & -3 & -2 & -1 \\0 & 0 & 2 & -1\end{array}\right]$

这是一个阶梯形矩阵，现在我们来判断秩。

• 系数矩阵的秩：主元在第1、2、3列，有3个非零行 → 秩为3
• 增广矩阵的秩：最后一列没有出现矛盾行（如 [0 0 0 | c], c≠0），所以秩也是3
• 未知数个数为3

因此，系数矩阵和增广矩阵的秩都等于3，等于未知数个数，所以方程组有唯一解。

第三步：验证是否真的可以解出唯一解（可选）

我们可以回代求解：

从最后一行：$ 2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -\frac{1}{2} $

第二行：$ -3x_2 - 2x_3 = -1 $

代入 $ x_3 = -\frac{1}{2} $：

$-3x_2 - 2(-\frac{1}{2}) = -1 \Rightarrow -3x_2 + 1 = -1 \Rightarrow -3x_2 = -2 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{3}$

第一行：$ x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 $

代入：

$x_1 + 2\cdot\frac{2}{3} + (-\frac{1}{2}) = 3 \Rightarrow x_1 + \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = 3$

通分：$ \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6} $

$x_1 + \frac{5}{6} = 3 \Rightarrow x_1 = 3 - \frac{5}{6} = \frac{18}{6} - \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$

所以解为：
$x_1 = \frac{13}{6},\quad x_2 = \frac{2}{3},\quad x_3 = -\frac{1}{2}$

代入原方程验证：

1. $ \frac{13}{6} + 2\cdot\frac{2}{3} + (-\frac{1}{2}) = \frac{13}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{13}{6} + \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{18}{6} = 3 $ ✅

2. $ \frac{13}{6} - \frac{2}{3} - (-\frac{1}{2}) = \frac{13}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{12}{6} = 2 $ ✅

3. $ \frac{13}{6} - \frac{2}{3} + (-\frac{1}{2}) = \frac{13}{6} - \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1 $ ✅

全部成立，说明解正确。

结论：

该线性方程组有唯一解，因此题目的说法“只有唯一解”是正确的。

答案：A 对

$\boxed{\text{A 对}}$