5.求由曲线 =|ln x| 与直线 =0, =dfrac (1)(e), x=e 所围成的平面图形的面积.

考查要点：本题主要考查绝对值函数的积分以及分段函数的面积计算。关键在于将绝对值函数拆分为分段函数，并确定积分区间。

解题思路：

1. 分析函数形状：曲线$y=|\ln x|$在$x=1$处分段，左侧为$y=-\ln x$，右侧为$y=\ln x$。
2. 确定积分区间：由$x=\dfrac{1}{e}$到$x=e$，需在$x=1$处分段积分。
3. 分段计算面积：分别计算$x \in \left[\dfrac{1}{e},1\right]$和$x \in [1,e]$的积分，再求和。

步骤1：拆分绝对值函数

• 当$x \in \left[\dfrac{1}{e},1\right)$时，$\ln x < 0$，故$y = -\ln x$；
• 当$x \in [1,e]$时，$\ln x \geq 0$，故$y = \ln x$。

步骤2：分段积分

总面积$S$为两部分积分之和：
$S = \int_{\dfrac{1}{e}}^{1} (-\ln x) \, dx + \int_{1}^{e} \ln x \, dx$

步骤3：计算第一部分积分

$\int_{\dfrac{1}{e}}^{1} (-\ln x) \, dx = \left[ -x \ln x + x \right]_{\dfrac{1}{e}}^{1}$

• 代入上限$x=1$：
  $-1 \cdot \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1$
• 代入下限$x=\dfrac{1}{e}$：
  $-\dfrac{1}{e} \cdot \ln \dfrac{1}{e} + \dfrac{1}{e} = -\dfrac{1}{e} \cdot (-1) + \dfrac{1}{e} = \dfrac{2}{e}$
• 结果：
  $1 - \dfrac{2}{e}$

步骤4：计算第二部分积分

$\int_{1}^{e} \ln x \, dx = \left[ x \ln x - x \right]_{1}^{e}$

• 代入上限$x=e$：
  $e \cdot \ln e - e = e \cdot 1 - e = 0$
• 代入下限$x=1$：
  $1 \cdot \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1$
• 结果：
  $0 - (-1) = 1$

步骤5：求和

总面积：
$S = \left(1 - \dfrac{2}{e}\right) + 1 = 2 - \dfrac{2}{e}$