题目
设 gt 0, 则 =(int )_(-a)^asqrt ({a)^2-(x)^2}ln dfrac (x+sqrt {1+{x)^2}}(3)dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：将积分拆分为两部分
将原积分拆分为两部分，一部分是 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 的积分，另一部分是 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}\ln 3$ 的积分。
步骤 2：利用奇函数性质
由于 $\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 是奇函数，而 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 是偶函数，因此它们的乘积 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 也是奇函数。根据奇函数在对称区间上的积分性质，这部分积分结果为0。
步骤 3：计算剩余部分的积分
剩余部分的积分是 $-\ln 3$ 乘以 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 在 $[-a, a]$ 上的积分。根据定积分的几何意义，$\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 在 $[-a, a]$ 上的积分等于半径为 $a$ 的半圆的面积，即 $\dfrac {\pi }{2}{a}^{2}$。
将原积分拆分为两部分，一部分是 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 的积分，另一部分是 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}\ln 3$ 的积分。
步骤 2：利用奇函数性质
由于 $\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 是奇函数，而 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 是偶函数，因此它们的乘积 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 也是奇函数。根据奇函数在对称区间上的积分性质，这部分积分结果为0。
步骤 3：计算剩余部分的积分
剩余部分的积分是 $-\ln 3$ 乘以 $\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 在 $[-a, a]$ 上的积分。根据定积分的几何意义，$\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}}$ 在 $[-a, a]$ 上的积分等于半径为 $a$ 的半圆的面积，即 $\dfrac {\pi }{2}{a}^{2}$。