已知z=(sqrt(2))/(2)(1-i)，则z^100+z^50+1的值为（） A. -i B. i C. 1 D. -1

考查要点：本题主要考查复数的极坐标形式、德·摩根定理的应用，以及复数幂运算的周期性规律。

解题核心思路：

1. 将复数转化为极坐标形式，确定模和辐角；
2. 利用德·摩根定理简化高次幂的计算；
3. 利用周期性规律（如单位根性质）快速计算大指数幂；
4. 代数运算求和并化简。

破题关键点：

• 识别模为1，简化计算；
• 确定辐角为$-\frac{\pi}{4}$，便于应用德·摩根定理；
• 利用周期性（每8次幂循环）快速计算$z^{100}$和$z^{50}$。

步骤1：将$z$转化为极坐标形式

复数$z = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - i)$的实部为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，虚部为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$：

• 模：$r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$；
• 辐角：$\theta = \arctan\left(\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$。

因此，$z$的极坐标形式为：
$z = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right).$

步骤2：应用德·摩根定理计算幂次

根据德·摩根定理，$z^n = \cos\left(-\frac{n\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{n\pi}{4}\right)$：

• 计算$z^{100}$：
  $z^{100} = \cos\left(-25\pi\right) + i\sin\left(-25\pi\right) = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1.$
• 计算$z^{50}$：
  $z^{50} = \cos\left(-\frac{25\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{25\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -i.$

步骤3：求和并化简

$z^{100} + z^{50} + 1 = (-1) + (-i) + 1 = -i.$