题目
求下列极限.-|||-lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^x-sqrt (x+1)}(x);
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以使用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty}{\infty}$，那么 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 2：求导
对分子 ${e}^{x}-\sqrt {x+1}$ 求导，得到 ${e}^{x}-\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}}$；对分母 $x$ 求导，得到 $1$。
步骤 3：计算极限
将求导后的表达式代入原极限，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}}}{1}$。当 $x \rightarrow 0$ 时，${e}^{x} \rightarrow 1$，$\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}} \rightarrow \dfrac {1}{2}$，因此极限值为 $1 - \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{2}$。
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以使用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty}{\infty}$，那么 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 2：求导
对分子 ${e}^{x}-\sqrt {x+1}$ 求导，得到 ${e}^{x}-\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}}$；对分母 $x$ 求导，得到 $1$。
步骤 3：计算极限
将求导后的表达式代入原极限，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}}}{1}$。当 $x \rightarrow 0$ 时，${e}^{x} \rightarrow 1$，$\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}} \rightarrow \dfrac {1}{2}$，因此极限值为 $1 - \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{2}$。