当x→0时，sinx(cosx-4)+3x为x的几阶无穷小?____

本题考查无穷小阶的判定，解题思路思路是利用泰勒级数展开将函数化简，然后根据无穷小阶的定义来确定该函数是 $x$ 的几阶无穷小。

1. 泰勒级数展开：
   • • 我们知道 $\sin x$ 和 $\cos $x$ 的泰勒级数展开式分别为：
     • $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$，这里 $o(x^5)$ 表示 $x^5$ 的高阶无穷小量。
     • $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，这里 $o(x^4)$ 表示 $x^4$ 的高阶小量。
2. 代入原式：**
   • 将上述展开式代入 $\sin x(\cos x - 4)+3x$ 中，得到：
     • $\sin $x(\cos x - 4)+3x=\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\right)\left(-3 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)+3x$。
3. 展开并整理：
   • 先将 $\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\right)\left(-3 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)$ 展开：
     • $x 与 $\left(-3 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)$ 相乘得：$x\times(-3)-x\times\frac{x^2}{2}+x\times\frac{x^4}{24}+x\times o(x^4)=-3x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{24}+o(x^5)$。
     • $-\frac{x^3}{6}$ 与 $\left(-3 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)$ 相乘得：$(-\frac{x^3}{6})\times(-3)-(-\frac{x^3}{6})\times\frac{x^2}{2}+(-\frac{x^3}{6})\times\frac{x^4}{24}+(-\frac{x^3}{6})\times o(x^4)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{12}-\frac{x^7}{144}+o(x^7)$。
     • $\frac{x^5}{120}$ 与 $\left(-3 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)$ 相乘得：$\frac{x^5}{120}\times(-3)-\frac{x^5}{120}\times\frac{x^2}{2}+\frac{x^5}{120}}\times\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}\times o(x^4)=-\frac{x^5}{40}-\frac{x^7}{240}+\frac{x^9}{2880}+o(x^9)$。
     • $o(x^5)$ 与 $\left(-3 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)$ 相乘得 $o(x^5)$。
   • 然后将上述各项相加并整理：
     • $\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\right)\left(-3 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)+3x$
     • $=\left(-3x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{24}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{12}-\frac{x^5}{40}+o(x^5)\right)+3x$
     • 合并同类项：
       • 对于 $x$ 的一次项：$-3x + 3x = 0$。
       • 对于 $x$ 的三次项：$-\frac{x^3}{2}+\frac{x^3}{2}=0$
       • 对于 $x$ 的五次项：$\frac{x^5}{24}+\frac{x^5}{12}-\frac{x^5}{40}=\frac{5x^5 + 10x^5-3x^5}{120}=\frac{12x^5}{120}=\frac{x^5}{10}$。
     • 所以最终结果为 $\frac{x^5}{10}+o(x^5)}$。
4. 确定无穷小阶：
   • 根据无穷小阶的定义，如果 $\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x^k}=C$（$C$ 为非零常数），则称 $f(x)$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小。
   • 对于 $f(x)=\frac{x^5}{10}+o(x^5)$，$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^5}{10}+o(x^5)}{x^}=\}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{10}+\frac{o(x^5)}{x^5}\right)=\frac{\frac{10}$，这里 $C = \frac{1}{10}$ 为非零常数，所以 $f(x)$ 是 $x$ 的五阶无穷小。