15.单选题(4分) 若3阶方阵A的秩是2,则A的全部特征值的乘积为()A. 0B. 1C. 3D. 2

本题考查方阵的秩与特征值的关系。解题思路是根据方阵的秩与行列式的关系，再结合方阵特征值的性质来求解。

步骤一：明确方阵的秩与行列式的关系

对于一个$n$阶方阵$A$，若$r(A)\lt n$（$r(A)$表示方阵$A$的秩），则$\vert A\vert = 0$。
已知$A$是$3$阶方阵且$r(A)=2\lt 3$，所以可得$\vert A\vert = 0$。

步骤二：明确方阵特征值的性质

设$n$阶方阵$A$的$n$个特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则方阵$A$的行列式$\vert A\vert$等于其所有特征值的乘积，即$\vert A\vert=\lambda_1\times\lambda_2\times\cdots\times\lambda_n$。
对于$3$阶方阵$A$，设其三个特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，那么$\vert A\vert=\lambda_1\times\lambda_2\times\lambda_3$。

步骤三：计算$A$的全部特征值的乘积

由步骤一可知$\vert A\vert = 0$，结合步骤二$\vert A\vert=\lambda_1\times\lambda_2\times\lambda_3$，可得$\lambda_1\times\lambda_2\times\lambda_3 = 0$，即$A$的全部特征值的乘积为$0$。