满足||z-1|+|z+1|=4的点z的轨迹是( )A. 抛物线B. 圆C. 双曲线D. 椭圆

本题考查复数的几何意义以及椭圆的定义。解题思路是先设出复数$z$的代数形式，将其代入已知方程，然后根据方程的几何意义，结合椭圆的定义来判断点$z$的轨迹。

1. 设$z = x + yi$，其中$x,y\in\mathbb{R}$。
2. 将$z$代入方程$\vert z - 1\vert+\vert z + 1\vert = 4$：
   • 因为$z-1=(x - 1)+yi$，根据复数的模的计算公式$\vert a+bi\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$（$a,b\in\mathbb{R}$），可得$\vert z - 1\vert=\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}$。
   • 同理，$z + 1=(x + 1)+yi$，则$\vert z + 1\vert=\sqrt{(x + 1)^{2}+y^{2}}$。
   • 所以原方程变为$\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x + 1)^{2}+y^{2}} = 4$。
3. 分析方程的几何意义：
   • 方程$\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x + 1)^{2}+y^{2}} = 4$表示平面上的点$(x,y)$到两点$(1,0)$和$(-1,0)$的距离之和为常数$4$。
4. 根据椭圆的定义进行判断：
   • 椭圆的定义为平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$\vert F_1F_2\vert$）的点的轨迹。
   • 这里两个定点为$(1,0)$和$(-1,0)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$，可得两定点间的距离$\vert F_1F_2\vert=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(0 - 0)^{2}}=\sqrt{2^{2}} = 2$。
   • 而常数$4\gt2$，满足椭圆定义中距离之和大于两定点间距离这一条件，所以点$z$的轨迹是椭圆。