已知序列的z变换 Z[x[n]]=(1)/(1-3z^-1)，收敛域 |z|A. -3^-nu[-n-1]B. 3^nu[n]C. -3^nu[-n]D. 3^nu[n-1]

本题考查z变换的逆变换，解题思路是根据给定的z变换表达式和收敛域，结合z变换的性质和常见序列的z变换对来求解逆变换。

步骤一：分析z变换表达式

已知序列的z变换为$Z[x[n]] = \frac{1}{1 - 3z^{-1}}$，我们可以将其变形为$Z[x[n]]=\frac{z}{z - 3}$。

步骤二：根据收敛域判断序列类型

收敛域为$\vert z\vert < 3$，这表明该序列是一个左边序列。对于左边序列，其z变换的收敛域是圆的内部。

步骤三：利用常见z变换对求解逆变换

我们知道常见的z变换对：

• 右边序列$a^n u[n]$的z变换为$\frac{1}{1 - az^{-1}}$，收敛域为$\vert z\vert > \vert a\vert$。
• 左边序列$-a^n u[-n - 1]$的z变换为$\frac{1}{1 - az^{-1}}$，收敛域为$\vert z\vert < \vert a\vert$。

在本题中，$a = 3$，由于收敛域$\vert z\vert < 3$，所以对应的序列是左边序列$-3^n u[-n - 1]$。

步骤四：验证选项

我们来验证选项C：
对$-3^n u[-n]$进行z变换，根据z变换的定义$Z[x[n]]=\sum_{n = -\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$，则有：
$\begin{align*}Z[-3^n u[-n]]&=-\sum_{n = -\infty}^{0}3^n z^{-n}\\&=-\sum_{n = 0}^{\infty}(3z^{-1})^{-n}\\\end{align*}$
这是一个等比级数，公比为$\frac{1}{3z^{-1}}=\frac{z}{3}$，根据等比级数求和公式$\sum_{n = 0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1 - r}$（$\vert r\vert < 1$），这里$r=\frac{z}{3}$，当$\vert z\vert < 3$时，$\vert\frac{z}{3}\vert < 1$，则：
$\begin{align*}Z[-3^n u[-n]]&=-\frac{1}{1-\frac{z}{3}}\\&=-\frac{3}{3 - z}\\&=\frac{1}{1 - 3z^{-1}}\end{align*}$
收敛域为$\vert z\vert < 3$，与题目给定的z变换和收敛域一致。