31、设随机变量x在[0,π]上服从均匀分布，则E[X-E(X)]^2=(pi)/(12).( )(2分)bigcirc正确bigcirc错误

考查要点：本题主要考查均匀分布的方差计算，需要掌握均匀分布的期望和方差公式，以及积分法求方差的能力。

解题核心思路：

1. 均匀分布的期望：在区间$[a,b]$上，均匀分布的期望为$\frac{a+b}{2}$。
2. 方差公式：均匀分布的方差为$\frac{(b-a)^2}{12}$，或通过积分$\int_a^b (x-\mu)^2 f(x)dx$计算，其中$\mu$为期望，$f(x)$为概率密度函数。

破题关键点：

• 明确区间$[0,\pi]$，代入方差公式或直接积分，验证结果是否与题目给出的$\frac{\pi}{12}$一致。

步骤1：计算期望
随机变量$X$在$[0,\pi]$上服从均匀分布，概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\pi}$。
期望值为：
$E(X) = \frac{0 + \pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$

步骤2：计算方差
方差公式为：
$E\left[(X - E(X))^2\right] = \int_0^\pi \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{\pi} \, dx.$

方法1：变量代换
令$u = x - \frac{\pi}{2}$，则积分区间变为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，积分变为：
$\frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} u^2 \, du = \frac{1}{\pi} \cdot \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{12} = \frac{\pi^2}{12}.$

方法2：直接应用均匀分布方差公式
均匀分布的方差为：
$D(X) = \frac{(\pi - 0)^2}{12} = \frac{\pi^2}{12}.$

结论：
题目中给出的$\frac{\pi}{12}$与正确结果$\frac{\pi^2}{12}$不符，因此答案为错误。