已知psi=R(r)Theta(theta)Phi(phi)=R(r)cdot Y(theta,phi)，其中各函数皆已归一化，则下列等式成立的是：A. int |psi|^2 dtau = int R^2 r^2 drB. int |psi|^2 dtau = int_(0)^infty R^2 r^2 dr int_(0)^pi int_(0)^2pi Y^2 sin theta dtheta dphiC. int |psi|^2 dtau = int 4pi r^2 R^2 drD. int |psi|^2 dtau = int 4pi r^2 psi^2 dr

本题考查量子力学中波函数归一化以及球坐标下体积分的计算。解题的关键在于理解波函数的形式，将其代入归一化积分，并利用球坐标下的体积元进行积分计算。

1. 首先明确波函数$\psi = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=R(r)\cdot Y(\theta,\phi)$，其中$Y(\theta,\phi)$是球谐函数，且各函数皆已归一化。归一化条件要求$\int |\psi|^2 d\tau = 1$，这里$d\tau$是体积元。
2. 在球坐标系中，体积元$d\tau=r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi$。
3. 将波函数$\psi = R(r)\cdot Y(\theta,\phi)$代入归一化积分$\int |\psi|^2 d\tau$中，可得：
   • $\int |\psi|^2 d\tau=\int |R(r)\cdot Y(\theta,\phi)|^2 r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi$。
   • 根据绝对值的性质$|ab| = |a|\cdot|b|$，上式可化为$\int |R(r)|^2 |Y(\theta,\phi)|^2 r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi$。
   • 由于$R(r)$、$Y(\theta,\phi)$分别只与$r$、$\theta$和$\phi$有关，根据多重积分的性质，可将积分拆分为三个积分的乘积：
     • $\int |R(r)|^2 |Y(\theta,\phi)|^2 r^{2}\sin\theta drd\theta d\phi=\int_{0}^{\infty} R^2 r^2 dr \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} Y^2 \sin \theta d\theta d\phi$。
     • 这里$\int_{0}^{\infty} R^2 r^2 dr$是对$r$的积分，积分区间是从$0$到$\infty$；$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} Y^2 \sin \theta d\theta d\phi$是对$\theta$和$\phi$的积分，$\theta$的积分区间是从$0$到$\pi$，$\phi$的积分区间是从$0$到$2\pi$。
4. 分析其他选项：
   • 选项A：$\int |\psi|^2 d\tau = \int R^2 r^2 dr$，缺少了对$\theta$和$\phi$的积分，所以A选项错误。
   • 选项C：$\int |\psi|^2 d\tau = \int 4\pi r^2 R^2 dr$，只有当$Y(\theta,\phi)$是常数且$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} Y^2 \sin \theta d\theta d\phi = 4\pi$时才成立，但一般情况下$Y(\theta,\phi)$不是常数，所以C选项错误。
   • 选项D：$\int |\psi|^2 d\tau = \int 4\pi r^2 \psi^2 dr$，同样缺少了对$\theta$和$\phi$的积分，所以D选项错误。