18.设方程e^2x+y=cos(xy)-x确定了隐函数y=y(x)，则y'|_(x=0)=A. (1)/(3)B. -(1)/(3)C. 3D. -3

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是先对给定的方程两边同时关于$x$求导，在求导过程中把$y$看作是$x$的函数，然后利用复合函数求导法则进行求导，最后将$x = 0$代入原方程求出$y$的值，再把$x = 0$和求出的$y$值代入求导后的式子，从而得到$y'\vert_{x = 0}$的值。

步骤一：对原方程两边关于$x$求导

已知方程$e^{2x + y} = \cos(xy) - x$，等式两边同时对$x$求导。

• 对于左边$e^{2x + y}$，根据复合函数求导法则$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，这里$u = 2x + y$，则$(e^{2x + y})^\prime = e^{2x + y}\cdot(2x + y)^\prime=e^{2x + y}\cdot(2 + y')$。
• 对于右边$\cos(xy) - x$，根据求导的减法法则$(u - v)^\prime = u^\prime - v^\prime$，分别求导：
  • 对于$\cos(xy)$，令$u = xy$，根据复合函数求导法则$(\cos u)^\prime=-\sin u\cdot u^\prime$，则$(\cos(xy))^\prime = -\sin(xy)\cdot(xy)^\prime$，再根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = y$，所以$(xy)^\prime = y + xy'$，那么$(\cos(xy))^\prime = -\sin(xy)\cdot(y + xy')$。
  • 对于$-x$，其导数为$-1$。

所以求导后的方程为：$e^{2x + y}\cdot(2 + y') = -\sin(xy)\cdot(y + xy') - 1$。

步骤二：求出$x = 0$时$y$的值

将$x = 0$代入原方程$e^{2x + y} = \cos(xy) - x$，得到$e^{0 + y} = \cos(0\times y) - 0$，即$e^y = 1$，解得$y = 0$。

步骤三：将$x = 0$，$y = 0$代入求导后的方程，求出$y'\vert_{x = 0}$

把$x = 0$，$y = 0$代入$e^{2x + y}\cdot(2 + y') = -\sin(xy)\cdot(y + xy') - 1$，得到$e^{0 + 0}\cdot(2 + y') = -\sin(0\times 0)\cdot(0 + 0\times y') - 1$，即$1\times(2 + y') = 0 - 1$，化简可得$2 + y' = -1$，移项解得$y' = -3$，所以$y'\vert_{x = 0} = -3$。