题目
lim _(xarrow 0)dfrac (ln ({sin )^2x+(e)^x)-x}(ln ({x)^2+(e)^2x)-2x}
题目解答
答案
=
=
=
=1
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到题目中的表达式是：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + e^{2x}) - 2x}{\ln(\sin^2x + e^x) - x}$$
我们需要化简这个表达式，以便于计算极限。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$e^{2x} \to 1$，$e^x \to 1$，因此$x^2 + e^{2x} \approx 1 + x^2$，$\sin^2x + e^x \approx 1 + x^2$。因此，我们可以将原表达式中的对数项用等价无穷小替换，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2) - 2x}{\ln(1 + x^2) - x}$$
步骤 3：利用对数函数的性质
我们知道，当$x \to 0$时，$\ln(1 + x) \approx x$，因此可以进一步化简为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2x}{x^2 - x}$$
步骤 4：计算极限
将$x^2$和$x$提取公因式，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x(x - 2)}{x(x - 1)}$$
化简后得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{x - 1}$$
当$x \to 0$时，分子和分母都趋向于常数，因此可以直接计算极限值：
$$\frac{-2}{-1} = 2$$
首先，我们注意到题目中的表达式是：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + e^{2x}) - 2x}{\ln(\sin^2x + e^x) - x}$$
我们需要化简这个表达式，以便于计算极限。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$e^{2x} \to 1$，$e^x \to 1$，因此$x^2 + e^{2x} \approx 1 + x^2$，$\sin^2x + e^x \approx 1 + x^2$。因此，我们可以将原表达式中的对数项用等价无穷小替换，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2) - 2x}{\ln(1 + x^2) - x}$$
步骤 3：利用对数函数的性质
我们知道，当$x \to 0$时，$\ln(1 + x) \approx x$，因此可以进一步化简为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2x}{x^2 - x}$$
步骤 4：计算极限
将$x^2$和$x$提取公因式，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x(x - 2)}{x(x - 1)}$$
化简后得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{x - 1}$$
当$x \to 0$时，分子和分母都趋向于常数，因此可以直接计算极限值：
$$\frac{-2}{-1} = 2$$