题目
21.求定积分 (int )_(0)^1(e)^sqrt (x)dx 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。
步骤 2：积分变换
将原积分 ${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx$ 变换为 ${\int }_{0}^{1}{e}^{t}\cdot 2t\,dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u = 2t$，$dv = e^t\,dt$，则 $du = 2\,dt$，$v = e^t$。
步骤 4：计算分部积分
${\int }_{0}^{1}{e}^{t}\cdot 2t\,dt = 2te^t{\int }_{0}^{1} - 2{\int }_{0}^{1}e^t\,dt$。
步骤 5：计算定积分
$2te^t{\int }_{0}^{1} - 2{\int }_{0}^{1}e^t\,dt = 2e - 2 - (2e - 2) = 2$。
令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。
步骤 2：积分变换
将原积分 ${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx$ 变换为 ${\int }_{0}^{1}{e}^{t}\cdot 2t\,dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u = 2t$，$dv = e^t\,dt$，则 $du = 2\,dt$，$v = e^t$。
步骤 4：计算分部积分
${\int }_{0}^{1}{e}^{t}\cdot 2t\,dt = 2te^t{\int }_{0}^{1} - 2{\int }_{0}^{1}e^t\,dt$。
步骤 5：计算定积分
$2te^t{\int }_{0}^{1} - 2{\int }_{0}^{1}e^t\,dt = 2e - 2 - (2e - 2) = 2$。