n元排列 n(n-1)...21 是().A. 奇排列B. 偶排列C. 非奇非偶排列D. 奇偶性与n的取值有关

本题考查知识点为排列的奇偶性判断，解题思路是通过计算排列 $n(n - 1)\cdots21$ 的逆序数，再根据逆序数的奇偶性来确定排列的奇偶性。

步骤一：明确逆序数的定义

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为 $\tau$。若 $\tau$ 为偶数，则该排列为偶排列；若 $\tau$ 为奇数，则该排列为奇排列。

步骤二：计算排列 $n(n - 1)\cdots21$ 的逆序数

对于排列 $n(n - 1)\cdots21$，计算逆序数可以通过分析每个数后面比它小的数的个数来实现。

• 数字 $n$ 后面比它小的数有 $n - 1$ 个，即 $n - 1,n - 2,\cdots,2,1$，所以 $n$ 产生的逆序数为 $n - 1$。
• 数字 $n - 1$ 后面比它小的数有 $n - 2$ 个，即 $n - 2,n - 3,\cdots,2,1$，所以 $n - 1$ 产生的逆序数为 $n - 2$。
• $\cdots$
• 数字 $2$ 后面比它小的数有 $1$ 个，即 $1$，所以 $2$ 产生的逆序数为 $1$。
• 数字 $1$ 后面没有比它小的数，所以 $1$ 产生的逆序数为 $0$。

那么该排列的逆序数 $\tau$ 为：
$\begin{align*}\tau&=(n - 1)+(n - 2)+\cdots+2 + 1\\&=\frac{n(n - 1)}{2}\end{align*}$

步骤三：根据 $n$ 的取值讨论逆序数的奇偶性

• 当 $n = 4k$ 或 $n = 4k + 1$（$k\in Z$）时：
  • 若 $n = 4k$，则 $\frac{n(n - 1)}{2}=\frac{4k(4k - 1)}{2}=2k(4k - 1)$，因为 $2k(4k - 1)$ 能被 $2$ 整除，所以此时逆序数为偶数，排列为偶排列。
  • 若 $n = 4k + 1$，则 $\frac{n(n - 1)}{2}=\frac{(4k + 1)\times4k}{2}=2k(4k + 1)$，因为 $2k(4k + 1)$ 能被 $2$ 整除，所以此时逆序数为偶数，排列为偶排列。
• 当 $n = 4k + 2$ 或 $n = 4k + 3$（$k\in Z$）时：
  • 若 $n = 4k + 2$，则 $\frac{n(n - 1)}{2}=\frac{(4k + 2)(4k + 1)}{2}=(2k + 1)(4k + 1)$，因为 $(2k + 1)(4k + 1)$ 不能被 $2$ 整除，所以此时逆序数为奇数，排列为奇排列。
  • 若 $n = 4k + 3$，则 $\frac{n(n - 1)}{2}=\frac{(4k + 3)(4k + 2)}{2}=(4k + 3)(2k + 1)$，因为 $(4k + 3)(2k + 1)$ 不能被 $2$ 整除，所以此时逆序数为奇数，排列为奇排列。

综上，排列 $n(n - 1)\cdots21$ 的奇偶性与 $n$ 的取值有关。