题目
3.单选题-|||-设 :(x)^2+(y)^2leqslant 2 ,由二重积分的几何意义知 iint sqrt (2-{x)^2-(y)^2}dxdy= ()().-|||-A. dfrac (4)(3)sqrt (2)pi B. dfrac (2)(3)sqrt (2)pi . C. dfrac (1)(3)sqrt (2)pi . D. sqrt (2)pi -|||-A A-|||-B B-|||-C C-|||-D D
题目解答
答案
：由二重积分的几何意义知：$D$是圆${x}^{2}+{y}^{2}=2$的面积;
$\therefore \iint \sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy=\left(\dfrac{4}{3}\pi \times \sqrt{2}\right){}^{2}=\dfrac{8}{3}\sqrt{2}\pi $
故选：A
A
$\therefore \iint \sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy=\left(\dfrac{4}{3}\pi \times \sqrt{2}\right){}^{2}=\dfrac{8}{3}\sqrt{2}\pi $
故选：A
A
解析
步骤 1：理解二重积分的几何意义
二重积分 $\iint \sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy$ 在区域 $D:{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2$ 上的几何意义是计算一个曲顶柱体的体积，其中曲顶是半径为 $\sqrt{2}$ 的半球面，底面是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
步骤 2：计算半球体的体积
半球体的体积公式为 $V = \frac{2}{3}\pi r^3$，其中 $r$ 是半球的半径。在这个问题中，半球的半径 $r = \sqrt{2}$，因此半球体的体积为 $V = \frac{2}{3}\pi (\sqrt{2})^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4}{3}\sqrt{2}\pi$。
步骤 3：确定正确答案
根据上述计算，二重积分 $\iint \sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy$ 的值为 $\frac{4}{3}\sqrt{2}\pi$，因此正确答案是选项 A。
二重积分 $\iint \sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy$ 在区域 $D:{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2$ 上的几何意义是计算一个曲顶柱体的体积，其中曲顶是半径为 $\sqrt{2}$ 的半球面，底面是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
步骤 2：计算半球体的体积
半球体的体积公式为 $V = \frac{2}{3}\pi r^3$，其中 $r$ 是半球的半径。在这个问题中，半球的半径 $r = \sqrt{2}$，因此半球体的体积为 $V = \frac{2}{3}\pi (\sqrt{2})^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4}{3}\sqrt{2}\pi$。
步骤 3：确定正确答案
根据上述计算，二重积分 $\iint \sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy$ 的值为 $\frac{4}{3}\sqrt{2}\pi$，因此正确答案是选项 A。