题目
15.设 (x)=dfrac (7x-2)(2{x)^2+x-1}, 则 ^(n)(0)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解分母
首先，我们注意到分母 $2x^2 + x - 1$ 可以分解为 $(2x - 1)(x + 1)$。因此，我们可以将 $f(x)$ 写为部分分式的形式。
步骤 2：部分分式分解
将 $f(x)$ 写为部分分式的形式，即 $f(x) = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$。通过解方程 $A(x + 1) + B(2x - 1) = 7x - 2$，我们得到 $A = 1$ 和 $B = 3$。
步骤 3：求导
求 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。对于 $\dfrac{1}{2x - 1}$ 和 $\dfrac{3}{x + 1}$，分别求 $n$ 阶导数。对于 $\dfrac{1}{2x - 1}$，$n$ 阶导数为 $\dfrac{(-1)^n n! 2^n}{(2x - 1)^{n+1}}$；对于 $\dfrac{3}{x + 1}$，$n$ 阶导数为 $\dfrac{3(-1)^n n!}{(x + 1)^{n+1}}$。
步骤 4：计算 $f^{(n)}(0)$
将 $x = 0$ 代入 $f^{(n)}(x)$ 的表达式中，得到 $f^{(n)}(0) = -n! \cdot 2^n + 3(-1)^n n!$。
首先，我们注意到分母 $2x^2 + x - 1$ 可以分解为 $(2x - 1)(x + 1)$。因此，我们可以将 $f(x)$ 写为部分分式的形式。
步骤 2：部分分式分解
将 $f(x)$ 写为部分分式的形式，即 $f(x) = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$。通过解方程 $A(x + 1) + B(2x - 1) = 7x - 2$，我们得到 $A = 1$ 和 $B = 3$。
步骤 3：求导
求 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。对于 $\dfrac{1}{2x - 1}$ 和 $\dfrac{3}{x + 1}$，分别求 $n$ 阶导数。对于 $\dfrac{1}{2x - 1}$，$n$ 阶导数为 $\dfrac{(-1)^n n! 2^n}{(2x - 1)^{n+1}}$；对于 $\dfrac{3}{x + 1}$，$n$ 阶导数为 $\dfrac{3(-1)^n n!}{(x + 1)^{n+1}}$。
步骤 4：计算 $f^{(n)}(0)$
将 $x = 0$ 代入 $f^{(n)}(x)$ 的表达式中，得到 $f^{(n)}(0) = -n! \cdot 2^n + 3(-1)^n n!$。