当下流行斗地主游戏，一副扑克牌包括大小王共计54张牌，三个人玩斗地主游戏，轮流抓牌，每人取到17张之后剩余3张留底给地主，如果我们规定三人必须轮流做地主，大小王构成最大的王炸，那么可以计算出地主抓到王炸概率是（ ），一个指定的农民抓到王炸概率为（ ），两个农民这一方抓到王炸概率为（ ）（不能凑牌）。请用最简分数填空）

本题主要考查古典概型中组合数的应用来计算概率。解题的关键在于明确不同角色抓牌的数量，然后利用组合数公式计算出相应的概率。

1. 计算地主抓到王炸的概率

• 地主共抓$20$张牌（$17$张手牌 + $3$张底牌），总牌数为$54$张。
• 要计算地主抓到王炸的概率，可先从除大小王外的$52$张牌中选$18$张，再从$2$张大小王中选$2$张给地主，这是符合条件的情况数；而从$54$张牌中选$20$张给地主是总的情况数。
• 根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，地主抓到王炸的概率$P_1$为：
  $\begin{align*}P_1&=\frac{C_{52}^{18}\times C_{2}^{2}}{C_{54}^{20}}\\&=\frac{\frac{52!}{18!(52 - 18)!}\times1}{\frac{54!}{20!(54 - 20)!}}\\&=\frac{\frac{52!}{18!34!}}{\frac{54!}{20!34!}}\\&=\frac{52!\times20!}{18!\times54!}\\&=\frac{20\times19}{54\times53}\\&=\frac{190}{1431}\end{align*}$

2. 计算一个指定的农民抓到王炸的概率

• 一个指定的农民共抓$17$张牌，总牌数为$54$张。
• 同理，从除大小王外的$52$张牌中选$15$张，再从$2$张大小王中选$2$张给这个农民，是符合条件的情况数；从$54$张牌中选$17$张给这个农民是总的情况数。
• 设这个指定农民抓到王炸的概率为$P_2$，则：
  $\begin{align*}P_2&=\frac{C_{52}^{15}\times C_{2}^{2}}{C_{54}^{17}}\\&=\frac{\frac{52!}{15!(52 - 15)!}\times1}{\frac{54!}{17!(54 - 17)!}}\\&=\frac{\frac{52!}{15!37!}}{\frac{54!}{17!37!}}\\&=\frac{52!\times17!}{15!\times54!}\\&=\frac{17\times16}{54\times53}\\&=\frac{136}{1431}\end{align*}$

3. 计算两个农民这一方抓到王炸的概率

• 两个农民共抓$34$张牌，总牌数为$54$张。
• 从除大小王外的$52$张牌中选$32$张，再从$2$张大小王中选$2$张给两个农民，是符合条件的情况数；从$54$张牌中选$34$张给两个农民是总的情况数。
• 设两个农民这一方抓到王炸的概率为$P_3$，则：
  $\begin{align*}P_3&=\frac{C_{52}^{32}\times C_{2}^{2}}{C_{54}^{34}}\\&=\frac{\frac{52!}{32!(52 - 32)!}\times1}{\frac{54!}{34!(54 - 34)!}}\\&=\frac{\frac{52!}{32!20!}}{\frac{54!}{34!20!}}\\&=\frac{52!\times34!}{32!\times54!}\\&=\frac{34\times33}{54\times53}\\&=\frac{561}{1431}\\&=\frac{187}{477}\end{align*}$